Elektrosztatika példák - Hengerkondenzátor kapacitása
Feladat
- Számítsuk ki egy
hosszúságú, 
sugarakkal rendelkező hengerkondenzátor kapacitását, ha a hengerek között levegő van. Legyen 
, azaz tekintsünk el a kondenzátor végein kialakuló szórt tértől!
Megoldás
Legyen 
felületi töltéssűrűség a belső, 
sugarú hengeren. Próbáljuk meghatározni a két hengerfelület közti elektromos teret. Ehhez vegyünk fel egy 
sugarú, hosszúságú hengerfelületet, melynek tengelye egybe esik a kondenzátor tengelyével. A henger által bezárt töltés mennyisége könnyen kiszámítható, hiszen az a kondenzátor belső, sugarú fegyverzetének hosszúságú darabját zárja be. Tehát a bezárt töltés:
![\[Q=2\pi R_1 l \omega\]](/images/math/b/1/e/b1e931e0e034fe2878996e4908066ec6.png)
A bezárt 
töltés ismeretében felírhatjuk az 
sugarú hengerfelületre a Gauss-törvényt:
![\[\dfrac{Q}{\varepsilon_0}=\dfrac{2\pi R_1 l \omega}{\varepsilon_0}=\oint\overline{EdA}\]](/images/math/3/4/d/34de0df3f8d191b4363c580fed455f8c.png)
A rendszer hengerszimmetriája miatt az elektromos térerősség vektora mindenütt merőleges az sugarú hengerpalást felületére, és nagysága is mindenütt megegyező, ezért az integrál a következőképp egyszerűsödik:
![\[\dfrac{2\pi R_1 l \omega}{\varepsilon_0}=\oint\overline{EdA}=2\pi r l E\]](/images/math/e/a/b/eabd8b071897a6587ef1f43c4a75f828.png)
Kifejezve 
-t, megkapjuk a térerősséget a kondenzátor tengelyétől mért távolság függvényében:
![\[E_{(r)}=\dfrac{\omega R_1}{\varepsilon_0}\dfrac{1}{r}\]](/images/math/0/3/6/036eddde78e38a31e1bae092e4fa5671.png)
A térerősség ismeretében meghatározhatjuk a két hengerfelület közti potenciálkülönbséget:
![\[U_{1,2}=-\int_{R_1}^{R_2}E_{(r)}dr=-\dfrac{\omega R_1}{\varepsilon_0} \int_{R_1}^{R_2} \dfrac{1}{r} dr=\dfrac{\omega R_1}{\varepsilon_0} ln \left( \dfrac{R_2}{R_1} \right)\]](/images/math/9/4/4/94418469e47d86f1db4c3f4ca96ac745.png)
A kapacitás pedig:
![\[C=\dfrac{Q}{U_{1,2}}=\dfrac{2\pi R_1 l \omega}{\dfrac{\omega R_1}{\varepsilon_0} ln \left( \dfrac{R_2}{R_1} \right)}=\dfrac{2\pi l \varepsilon_0}{ln \left( \dfrac{R_2}{R_1} \right)}\]](/images/math/8/8/b/88bb763b798127f7318bd71e19b8f87f.png)
