Elektrosztatika példák - Párhuzamos hengeres vezetékek kapacitása
Feladat
- Két azonos,
keresztmetszeti sugarú, 
hosszúságú hengeres vezeték fekszik egymás mellett párhuzamosan, egymástól 
távolságra. Mekkora a rendszer kapacitása? (
)
Megoldás
Legyen 
felületi töltéssűrűség az egyik, 
felületi töltéssűrűség a másik hengeren.
Először próbáljuk meghatározni kizárólag az töltéssűrűségű hengerfelület által keltett elektromos teret. Ehhez vegyünk fel egy 
sugarú, hosszúságú hengerfelületet, melynek tengelye egybe esik a fémhenger tengelyével. A hengerfelület által bezárt töltés mennyisége könnyen kiszámítható, hiszen az sugarú fémhenger hosszúságú darabját zárja be. Tehát a bezárt töltés:
![\[Q=2\pi a l \omega\]](/images/math/d/d/3/dd37de0c573673601f0220a7b1e57e87.png)
A bezárt 
töltés ismeretében felírhatjuk az 
sugarú hengerfelületre a Gauss-törvényt:
![\[\dfrac{Q}{\varepsilon_0}=\dfrac{2\pi a l \omega}{\varepsilon_0}=\oint\overline{EdA}\]](/images/math/c/c/d/ccd982eff34727d3bf8db593b87cf73e.png)
Az elrendezés hengerszimmetriája miatt az elektromos térerősség vektora mindenütt merőleges az sugarú hengerpalást felületére, és nagysága is mindenütt megegyező, ezért az integrál a következőképp egyszerűsödik:
![\[\dfrac{2\pi a l \omega}{\varepsilon_0}=\oint\overline{EdA}=2\pi r l E\]](/images/math/1/b/e/1be3bdc728c122db1bf4a9399864f2bd.png)
Kifejezve 
-t, megkapjuk a térerősséget a kondenzátor tengelyétől mért távolság függvényében:
![\[E_{(r)}=\dfrac{\omega a}{\varepsilon_0}\dfrac{1}{r}\]](/images/math/c/4/1/c41f0c8ce47d424c168f96d1da538f58.png)
Az felületi töltéssűrűséggel rendelkező henger által keltett tér hatására 
potenciálkülönbség jön létre az 1. ábrán látható A és B pontok között. Fontos megjegyezni, hogy mivel mindkét henger felület külö-külön ekvipotenciális felület, emiatt ez a feszültség a hengerfelületek bármely két pontja közt ugyanakkora. Az meghatározható, ha az felületi töltéssűrűséggel rendelkező henger elektromos terét integráljuk 
és 
pontok között, ahol pont a tengelyekre merőlegesen illesztett vízszintes koordinátatengely koordinátájában (az origoban van a bal oldali henger tengelye), pont pedig a 
koordinátában helyezkedik el:
![\[U_{AB1}=-\int_{A}^{B}E_{(r)}dr=-\int_{a}^{b}E_{(r)}dr=-\dfrac{\omega a}{\varepsilon_0} \int_{a}^{b} \dfrac{1}{r} dr=\dfrac{\omega a}{\varepsilon_0} ln \left( \dfrac{b}{a} \right)\]](/images/math/3/4/e/34e41ea66929b46bdf591014951afa41.png)
A két hengerből álló rendszer tükörszimmetriájából következik, hogy a másik, töltéssűrűségű henger által az és pontok között létrehozott 
potenciálkülönbség megegyezik az első henger által keltett potenciálkülönbséggel. (
) Tekintve, hogy a potenciáltér lineáris, a két hengerfelület között mért potenciálkülönbség az egyes hengerek által keltett potenciálkülönbségek összege:
![\[U_{AB}=U_{AB1}+U_{AB2}=2U_{AB1}=\dfrac{2\omega a}{\varepsilon_0} ln \left( \dfrac{b}{a} \right)\]](/images/math/1/a/c/1acaf19e250d6d0ab82e558909553235.png)
A rendszer kapacitása:
![\[C=\dfrac{Q}{U_{AB}}=\dfrac{Q=2\pi a l \omega}{\dfrac{2\omega a}{\varepsilon_0} ln \left( \dfrac{b}{a} \right)}=\dfrac{\pi l \varepsilon_0}{ln \left( \dfrac{b}{a} \right)}\]](/images/math/6/b/8/6b85ec955d043fc08f610300d498c53d.png)
