Mechanika - Merev testek II.

Feladatok

1. (*3.3.5.) $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű, $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú, függőleges tengely körül súrlódás nélkül forgó korong kerületén $\setbox0\hbox{$m_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű pontszerű test van rögzítve. A rendszer $\setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szögsebességgel forog. Mekkora munka árán lehet az $\setbox0\hbox{$m_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegpontot a forgástengelyhez hozni? (A tömegpontot pl. súrlódásmentes csatornában húzzuk a centrum felé.)
   Végeredmény

   $\[W=\frac12\omega^2m_1R^2\left(\frac{2m_1}m+1\right)\]$
   Megoldás
   
   
2. (3.3.6.) $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű korong kerületére csavart fonál végét rögzítjük, és a korongot elengedjük.

   a) Írjuk le a korong mozgását!

   b) Mekkora a korong $\setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szögsebessége és középpontjának $\setbox0\hbox{$v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebessége, ha a korong kezdősebesség nélkül indult és mozgása során a korongról $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú fonaldarab csavarodott le?

   

   Végeredmény

   $\[\beta=\frac{2g}{3R}\]$

   $\[K=\frac{mg}3\]$

   $\[\omega=\sqrt{\frac{4gl}{3R^2}}\]$

   $\[v=\sqrt{\frac43 gl}\]$

   Megoldás

   
   

3. (*3.3.7.) $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú $\setbox0\hbox{$2m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű korong kerületére csavart fonál szabad végét felfüggesztjük. A koronghoz erősített elhanyagolható tömegű $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú tárcsa kerületére csavart fonál végére $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű testet függesztünk (mindkét fonál a korong középpontjának ugyanazon oldalán van). A rendszer függőleges síkban mozoghat. Írjuk le a rendszer mozgását!
   
   Végeredmény

   $\[\beta=g\frac{6R-2r}{8R^2+2r^2-4rR}\]$
   Megoldás
   
   
4. (*3.3.8.) Az ábrán feltüntetett $\setbox0\hbox{$\theta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tehetetlenségi nyomatékú lépcsős csiga két kötelére $\setbox0\hbox{$m_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$m_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű súlyokat függesztünk. Határozzuk meg a csiga szöggyorsulását, és a kötélágakban ébredő erőket!
   
   Végeredmény

   $\[\beta=\frac{m_1gR-m_2gr}{m_1R^2+m_2r^2+\theta}\]$
   Megoldás
   
   
5. (*3.3.9.) Vízszintes tengely körül forgó csigán átvetett fonál egyik végén $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű teher függ. A fonál másik vége rugóhoz csatlakozik, amelynek rugóállandója $\setbox0\hbox{$D$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A csiga sugara $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, tehetetlenségi nyomatéka $\setbox0\hbox{$\theta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Mutassuk ki, hogy a teher rezgőmozgást végez! Mekkora a rezgésidő?
   
   Útmutatás

   Vigyázzunk, hogy a kötél két szakaszának eltérő a feszítettsége!
   Végeredmény

   $\[T=2\pi\sqrt{\frac{\frac{\theta}{R^2}+m}{D}}\]$
   Megoldás
   
   
6. (*3.3.13.) Vízszintes lapon álló $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű koronghoz erősített elhanyagolható tömegű tárcsa kerületére csavart fonalat vízszintes irányban állandó $\setbox0\hbox{$F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ erővel húzunk. A korong sugara $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a tárcsa sugara $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.(A fonalat a korong középpontja fölött húzzuk.)
   

   a) Mekkora gyorsulással mozog a korong középpontja?

   b) Mi a talaj és a korong között fellépő súrlódási erő szerepe a korong középpontjának gyorsításánál?

   c) Mekkora $\setbox0\hbox{$\mu_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ súrlódási együttható szükséges ahhoz, hogy a korong a talajon csúszás nélkül gördülhessen?

   d) Oldjuk meg a feladatot arra az esetre is, ha a fonalat a korong középpontja alatt húzzuk a talaj síkjával párhuzamosan!

   Útmutatás

   Vegyünk fel tetszőleges irányú súrlódási erőt a rajzon, mivel ez az erő ismeretlen. A rajznak megfelelően kell viszont az egygenletekben előjelet kapnia Gördülésnél a súrlódási erő tapadási.

   Végeredmény

   $\[a=\frac{2F(R+r)}{3mR}\]$

   A súrlódási erő iránya kétféle is lehet $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-től függően.

   $\[F\frac{|R-2r|}{3R}\leq\mu mg\]$

   ami akár nulla is lehet. A d) esetben

   $\[a=\frac{2F(R-r)}{3mR}\]$

   A súrlódási erő mindig fékező.

   $\[F\frac{R+2r}{3R}\leq\mu mg\]$

   Megoldás

   
   

7. (*3.3.16.) Egy $\setbox0\hbox{$\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hajlásszögű lejtőre $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű és $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú hengert helyezünk, majd magára hagyjuk.

   a) Hogyan fog a henger mozogni, ha a lejtő és a hengerfelület között nem lép fel súrlódás?

   b) Mekkora lesz az a minimális $\setbox0\hbox{$\mu_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ súrlódási tényező, melynél a henger tisztán gördül a lejtőn? Határozza meg a tiszta gördülés esetén a mozgást jellemző mennyiségeket!

   c) Mekkora lesz a henger szögsebessége a $\setbox0\hbox{$h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ magasságú lejtő alján?

   d) Írja le a henger mozgását olyan esetben, amikor $\setbox0\hbox{$\mu<\mu_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$!

   Útmutatás

   Vigyázzunk, hogy a különféle esetekben hogyan kezeljük a súrlódási erőt!

   Végeredmény

   Tisztán lecsúszik

   $\[a=g\sin{\alpha}\]$

   gyorsulással. A tisztán legördülés esetéhez

   $\[\frac13\tan{\alpha}\leq\mu\]$

   kell, és

   $\[a=\frac23g\sin{\alpha}\]$

   A d) esetben csúszva gördül

   $\[a=g(\sin{\alpha}-\mu\cos{\alpha})\]$

   és

   $\[\beta=\frac{2\mu g\cos{\alpha}}R\]$

   valamint

   $\[\beta R<a\]$

   Megoldás

   
   

8. (3.3.17.) A vízszintessel $\setbox0\hbox{$30^{\circ}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-os szöget képező $\setbox0\hbox{$5\,\rm m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ magasságú lejtőn egyidejűleg kezdősebesség nélkül elindítunk egy hasábot, egy hengert és egy golyót. A hasáb súrlódásmentesen csúszik, a henger és a golyó csúszásmentesen gördül. A testek különböző időtartamok alatt érnek a lejtő aljára, ahol lécbe ütköznek. Mekkora időközök telnek el az egyes ütközések között?
   Végeredmény

   A keresett időközök $\setbox0\hbox{$0,37\,\rm s$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$0,08\,\rm s$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
   Megoldás
   
   
9. (*3.3.18.) $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú, $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű homogén körhenger kerületére fonalat csavarunk. A hengert ezután $\setbox0\hbox{$\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hajlásszögű lejtőre helyezzük. A hengert elengedve a fonalat $\setbox0\hbox{$F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ erővel húzzuk felfelé. Mekkora kötélerő biztosítja azt, hogy a henger csak forgó mozgást végezzen?
   
   Végeredmény

   $\[F=mg\sin{\alpha}-\mu mg\cos{\alpha}\]$
   Megoldás
   
   
10. (*3.3.24. alapján) Egy pontszerűnek tekinthető $\setbox0\hbox{$v_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebességű $\setbox0\hbox{$2m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű hokikorong tökéletesen rugalmatlanul ütközik egy fele akkora tömegű, $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú rúd végével (jégen). Az ütközés után a testek összetapadnak. Írja le a rendszer mozgását ütközés után!
    

    a) Hol lesz az ütközés után a rendszer tömegközéppontja (a rúd hossza mentén)?

    b) Mekkora lesz a tömegközéppont sebessége?

    c) Mekkora az e pontra vonatkoztatott tehetetlenségi nyomaték?

    d) Milyen szögsebességgel forog a rendszer ütközés után?

    Útmutatás

    Merev testek tökéletesen rugalmatlan ütközésekor a két test "összetapad", és csak az impulzus meg az impulzusmomentum marad meg.

    Végeredmény

    A rúd végétől $\setbox0\hbox{$\frac l6$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a rúd tömegközéppontjától pedig $\setbox0\hbox{$\frac l3$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$

    $\[v_{\rm{TKP}}=\frac23v_0\]$

    $\[\theta=\frac{ml^2}4\]$

    $\[\omega=\frac{4v_0}{3l}\]$

    Megoldás

    
    

11. (*3.3.29.) Egy $\setbox0\hbox{$30^{\circ}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hajlásszögű lejtőre $\setbox0\hbox{$0,1\,\rm m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ magasságú, $\setbox0\hbox{$0,2\,\rm m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszú és $\setbox0\hbox{$0,2\,\rm m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szélességű testet helyezünk. A test tömege $\setbox0\hbox{$1\,\rm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A test és a lejtő felülete között a súrlódási tényező $\setbox0\hbox{$0,2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

    a) Írja fel a test mozgásegyenletét!

    b) Hol van a test és a lejtő kölcsönhatását számbavevő erők támadáspontja?

    c) Létezhet-e akkora súrlódási tényező, hogy a test felbillenjen?

    Útmutatás

    A tömegközéppont kettő és a forgás egy mozgásegyenletét általánosan érdemes felírni, majd azokat az eseteket vizsgálni, amikor a test nem billen, hanem csúszik vagy tapad. A súrlódási erő minimum/maximum feltételei megadják a különböző esetek fennállásának feltételét

    Végeredmény

    $\[t=\mu b=0,02\,m\]$

    Ez az test ezen a lejtőn nem billenhet fel.

    Megoldás