Mechanika - Forgó henger lejtőn húzva

Feladat

1. (*3.3.18.) $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú, $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű homogén körhenger kerületére fonalat csavarunk. A hengert ezután $\setbox0\hbox{$\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hajlásszögű lejtőre helyezzük. A hengert elengedve a fonalat $\setbox0\hbox{$F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ erővel húzzuk felfelé. Mekkora kötélerő biztosítja azt, hogy a henger csak forgó mozgást végezzen?
   

Megoldás

Ha a henger csak forgómozgást végez, akkor a felülete a lejtőn csúszik, valamint tömegközéppontja nem gyorsul. A mozgásegyenletek:

$\[ma=mg\sin{\alpha}-\mu mg\cos{\alpha}-F=0\]$

$\[\theta\beta=FR-\mu mg\cos{\alpha}R\]$

Az első egyenletből

$\[F=mg\sin{\alpha}-\mu mg\cos{\alpha}>0,\]$

mert a kötélerő csak pozitív lehet. Ennek feltétele $\setbox0\hbox{$\mu <\tan\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Ezt felhasználva a második egyenletből pedig

$\[\beta=\frac{2g}R(\sin{\alpha}-2\mu\cos{\alpha}),\]$

ami csak speciális esetben nulla.