Feladat
- (*3.3.13.) Vízszintes lapon álló
tömegű koronghoz erősített elhanyagolható tömegű tárcsa kerületére csavart fonalat vízszintes irányban állandó
erővel húzunk. A korong sugara
, a tárcsa sugara
.(A fonalat a korong középpontja fölött húzzuk.)
- a) Mekkora gyorsulással mozog a korong középpontja?
- b) Mi a talaj és a korong között fellépő súrlódási erő szerepe a korong középpontjának gyorsításánál?
- c) Mekkora
súrlódási együttható szükséges ahhoz, hogy a korong a talajon csúszás nélkül gördülhessen?
- d) Oldjuk meg a feladatot arra az esetre is, ha a fonalat a korong középpontja alatt húzzuk a talaj síkjával párhuzamosan!
Megoldás
A mozgásegyenletek
és
feltéve, hogy az ismeretlen nagyságú tapadási súrlódási erő, amely a gördülést biztosítja, ellentétes irányú
![\setbox0\hbox{$F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/3/6/d/36dc8c2a2bb35571bed7e21189191fd4.png)
húzóerővel. A másik ismeretlenre, a gyorsulásra, a gördülés miatt felírható, hogy
![\setbox0\hbox{$a=\beta R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/c/c/5/cc5ef75984b30a99070b3d9d52d0489c.png)
, a tapadási súrlódási erőre pedig a
![\setbox0\hbox{$|F_s|\leq\mu mg$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/2/4/4/2442a1a4bbdb9727c9ec0eb00d72f43a.png)
reláció kell teljesüljön. A mozgásegyenletekből a súrlódási erőt kiejtve kapjuk
kifejezést, amely pozitív, tehát a korong a rajzon jobbra gördül. A súrlódási erő kifejezése
Ha a zárójeles kifejezés pozitív, azaz
akkor a súrlódási erő pozitív, azaz valóban a feltételezett irányú, és a tömegközéppont mozgásegyenletét tekintve fékező jellegű, emiatt
![\setbox0\hbox{$a<\frac Fm$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/c/0/4/c042da6c1897ea8402d4c567e3712dc4.png)
. A fenti reláció akkor teljesül, ha
![\setbox0\hbox{$R>2r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/b/5/2/b52a0813628c256605d826f576fcece5.png)
.
![\setbox0\hbox{$R<2r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/b/4/8/b48d4df867bd823acc93da9e0731fe0b.png)
esetén a két erő azonos irányú, és
![\setbox0\hbox{$a>\frac Fm$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/0/d/6/0d6f3cb2a2ca71ea9f87c2a8c8430414.png)
(!), tehát a súrlódási erő segíti a korong gyorsítását. Speciális esetben, ha
![\setbox0\hbox{$R=2r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/0/6/6/066c9eed866eab32d9a00ab5cbfd26b9.png)
,
![\setbox0\hbox{$F_s=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/e/4/f/e4f4e8ea1513a2507ccd74dfb2414651.png)
adódik, tehát súrlódás nélkül is lehet gördülés tetszőleges húzóerő mellett. Egyéb esetekben a húzóerő és a tapadási súrlódási együttható között fenn kell álljon egy reláció. A súrlódási erő kifejezését továbírva
így
amely adott
![\setbox0\hbox{$\mu$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/4/0/6/406a95c022aaa34b66da7e0af45ec006.png)
-re az erőt maximálja, adott erő mellett pedig minimumot ad rá nézve.
Ha a korong közepe alatt húzzuk a kötelet, a nyomatéki egyenletben az
![\setbox0\hbox{$Fr$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/d/5/1/d5157e17731a09ac2f12627b5f7d646a.png)
tag előjelet vált, ezért a gyorsulás kifejezése most
ami továbbra is pozitív, viszont
mindig pozitív, azaz
![\setbox0\hbox{$a<\frac Fm$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/c/0/4/c042da6c1897ea8402d4c567e3712dc4.png)
, a súrlódás mindig fékező hatású lesz.