Mechanika - Lelógatott korong

Feladat

1. (3.3.6.) $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű korong kerületére csavart fonál végét rögzítjük, és a korongot elengedjük.

   a) Írjuk le a korong mozgását!

   b) Mekkora a korong $\setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szögsebessége és középpontjának $\setbox0\hbox{$v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebessége, ha a korong kezdősebesség nélkül indult és mozgása során a korongról $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú fonaldarab csavarodott le?

   

Megoldás

A mozgásegyenletek

$\[ma=mg-K\]$

illetve

$\[\theta_{\rm{TKP}}\beta=KR,\]$

ahol $\setbox0\hbox{$mg$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a korong középpontjában támadó lefelé irányuló nehézségi erő, és $\setbox0\hbox{$K$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a kerületén támadó, fölfelé irányuló kötélerő, $\setbox0\hbox{$\theta_{\rm{TKP}}=\frac12mR^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pedig a tömegközéppontra vonatkozó tehetetlenségi nyomaték. Az lecsavarodó fonálból adódik, hogy $\setbox0\hbox{$a=R\beta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Az egyenleteket $\setbox0\hbox{$\beta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-ra és $\setbox0\hbox{$K$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-ra megoldva kapjuk

$\[\beta=\frac{2g}{3R}\]$

és

$\[K=\frac{mg}3\]$

megoldásokat. Ha a fonál $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszon csavarodott le, a tömegközéppont is ennyivel került lejjebb. A gyorsulások viszonya miatt $\setbox0\hbox{$v=\omega R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, és az energiamegmaradás

$\[mgl=\frac12 \theta \omega^2\]$

ahol $\setbox0\hbox{$\theta=\frac32 mR^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a pillanatnyi forgáspontra nézve. A jobb oldalon álló forgási energia megegyezik a tömegközéppont mozgási, és az akörüli forgási energiával, ahol azonban a tömegközépponti tehetetlenségi nyomatékot kell használni! Végül

$\[\omega=\sqrt{\frac{4gl}{3R^2}}\]$

$\[v=\sqrt{\frac43 gl}\]$