„Elektrosztatika példák - Dielektrikummal határolt végtelen töltött henger” változatai közötti eltérés
9. sor: | 9. sor: | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
</noinclude><wlatex># Egy $R_1$ sugarú végtelen hosszú henger felületi töltéssűrűségre $\omega$. A felületet egyenletes $d$ vastagságú $\epsilon_r$ permittivitású réteggel vesszük körül. <br> '''a)'''Mekkora a henger felületi töltéssűrűsége, ha egy $q$ töltést $W$ munka árán tudjuk a henger tengelyétől $r_2$ távolságból, $r_1$ távolságba hozni. $$r_2 > R_2+d > r_1$$ <br> '''b)'''Ábrázoljuk, hogyan változik a térerősség a tengelytől mért távolság függvényében! <br> '''c)'''Mekkora maximális töltéssűrűség vihető a henger felületére, ha a dielektrikum átütési szilárdsága $E_{kr1}$ a levegőé pedig $E_{kr2}$? | </noinclude><wlatex># Egy $R_1$ sugarú végtelen hosszú henger felületi töltéssűrűségre $\omega$. A felületet egyenletes $d$ vastagságú $\epsilon_r$ permittivitású réteggel vesszük körül. <br> '''a)'''Mekkora a henger felületi töltéssűrűsége, ha egy $q$ töltést $W$ munka árán tudjuk a henger tengelyétől $r_2$ távolságból, $r_1$ távolságba hozni. $$r_2 > R_2+d > r_1$$ <br> '''b)'''Ábrázoljuk, hogyan változik a térerősség a tengelytől mért távolság függvényében! <br> '''c)'''Mekkora maximális töltéssűrűség vihető a henger felületére, ha a dielektrikum átütési szilárdsága $E_{kr1}$ a levegőé pedig $E_{kr2}$? | ||
− | </wlatex><includeonly><wlatex> | + | </wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content='''a)'''$$\omega = \frac{W\cdot \epsilon_0}{R_1\cdot q \cdot \ln\left(\left(\frac{r_2}{R_2}\right)^{\frac{1}{\epsilon_r}}\cdot\frac{R_2}{r_1}\right)}$$ <br> '''b)'''Ábrázoljuk, hogyan változik a térerősség a tengelytől mért távolság függvényében! <br> '''c)'''A legkisebb töltéssűrűség ami ahhoz kell, hogy a dielektrikum átüssön: $$\omega_1 = \epsilon_0\cdot\epsilon_r\cdot E_{kr1}$$ <br> Teljesen hasonlóan a legkisebb töltéssűrűség ami ahhoz kell, hogy a levegő átüssön: $$\omega_2 = \epsilon_0\cdot \frac{R_2}{R_1}\cdot E_{kr2}$$ <br> Ezért a henger felületére vihető legnagyobb töltéssűrűség: $$\omega = \min\left\lbrace \omega_1,\omega_2\right\rbrace$$}} |
− | {{Végeredmény|content='''a)'''$$\omega = \frac{W\cdot \epsilon_0}{R_1\cdot q \cdot \ln\left(\left(\frac{r_2}{R_2}\right)^{\frac{1}{\epsilon_r}}\cdot\frac{R_2}{r_1}\right)}$$ <br> '''b)'''Ábrázoljuk, hogyan változik a térerősség a tengelytől mért távolság függvényében! <br> '''c)'''A legkisebb töltéssűrűség ami ahhoz kell, hogy a dielektrikum átüssön: $$\omega_1 = \epsilon_0\cdot\epsilon_r\cdot E_{kr1}$$ <br> Teljesen hasonlóan a legkisebb töltéssűrűség ami ahhoz kell, hogy a levegő átüssön: $$\omega_2 = \epsilon_0\cdot \frac{R_2}{R_1}\cdot E_{kr2}$$ <br> Ezért a henger felületére vihető legnagyobb töltéssűrűség: $$\omega = \min\left\lbrace \omega_1,\omega_2\right\rbrace$$}} | + | |
</wlatex></includeonly><noinclude> | </wlatex></includeonly><noinclude> | ||
== Megoldás == | == Megoldás == |
A lap 2013. június 26., 18:11-kori változata
Feladat
- Egy sugarú végtelen hosszú henger felületi töltéssűrűségre . A felületet egyenletes vastagságú permittivitású réteggel vesszük körül.
a)Mekkora a henger felületi töltéssűrűsége, ha egy töltést munka árán tudjuk a henger tengelyétől távolságból, távolságba hozni.
b)Ábrázoljuk, hogyan változik a térerősség a tengelytől mért távolság függvényében!
c)Mekkora maximális töltéssűrűség vihető a henger felületére, ha a dielektrikum átütési szilárdsága a levegőé pedig ?
Megoldás
a, Legyen a külső henger sugara .Ha felírjuk a Gauss-tételt, egy sugarú a töltött hengerrel koncentrikus hengerre, akkor meghatározhatjuk az elektromos eltolást:
Az elektromos térerősség a dielektrikumban:
A dielektrikumon kívül pedig:
A töltésen végzett munka, miközben -ből -be visszük:
Ha potenciál referencia pontját a hengertől egységnyi távolságra veszem fel, akkor:
Ebből:
b, A térerősséget ábrázolva 1.ábra
c, A dielektrikum akkor üt át, ha benne lévő legnagyobb elektromos tér nagyobb, mint a dielektrikum átütési szilárdsága. A legnagyobb tér a dielektrikumban a henger felületén van. Ezért a legkisebb töltéssűrűség ami ahhoz kell, hogy a dielektrikum átüssön:
Teljesen hasonlóan a legkisebb töltéssűrűség ami ahhoz kell, hogy a levegő átüssön:
Ezért a henger felületére vihető legnagyobb töltéssűrűség: