„Elektrosztatika példák - Dielektrikummal határolt végtelen töltött henger” változatai közötti eltérés
(→Megoldás) |
(→Megoldás) |
||
27. sor: | 27. sor: | ||
$$W = \int_1^{R_2} \frac{\omega\cdot R_1}{r\cdot\epsilon_0}\cdot q dr+\int_{R_2}^{r_1} \frac{\omega\cdot R_1}{r\cdot\epsilon_0\cdot\epsilon_r}\cdot q dr-\int_1^{r_2} \frac{\omega\cdot R_1}{r\cdot\epsilon_0}\cdot q dr$$ $$W = \frac{\omega\cdot R_1\cdot q}{\epsilon_0}\ln\left(\left(\frac{r_1}{R_2}\right)^{\frac{1}{\epsilon_r}}\cdot\frac{R_2}{r_2}\right)$$ | $$W = \int_1^{R_2} \frac{\omega\cdot R_1}{r\cdot\epsilon_0}\cdot q dr+\int_{R_2}^{r_1} \frac{\omega\cdot R_1}{r\cdot\epsilon_0\cdot\epsilon_r}\cdot q dr-\int_1^{r_2} \frac{\omega\cdot R_1}{r\cdot\epsilon_0}\cdot q dr$$ $$W = \frac{\omega\cdot R_1\cdot q}{\epsilon_0}\ln\left(\left(\frac{r_1}{R_2}\right)^{\frac{1}{\epsilon_r}}\cdot\frac{R_2}{r_2}\right)$$ | ||
Ebből kifejezhető a felületi töltéssűrűség: | Ebből kifejezhető a felületi töltéssűrűség: | ||
− | $$\omega = \frac{W\cdot \epsilon_0}{R_1\cdot q \cdot \ln\left(\left(\frac{ | + | $$\omega = \frac{W\cdot \epsilon_0}{R_1\cdot q \cdot \ln\left(\left(\frac{r_1}{R_2}\right)^{\frac{1}{\epsilon_r}}\cdot\frac{R_2}{r_2}\right)}$$ |
b, A térerősséget ábrázolva | b, A térerősséget ábrázolva |
A lap 2013. szeptember 27., 14:18-kori változata
Feladat
- Egy sugarú, végtelen hosszú fémhenger felületi töltéssűrűségre . A felületet egyenletes vastagságú, permittivitású réteggel vesszük körül.
a) Mekkora a henger felületi töltéssűrűsége, ha egy töltést munka árán tudunk a henger tengelyétől távolságból távolságba hozni.
b) Ábrázoljuk, hogyan változik a térerősség a tengelytől mért távolság függvényében!
c) Mekkora maximális töltéssűrűség vihető a henger felületére, ha a dielektrikum átütési szilárdsága , a levegőé pedig ?
Megoldás
a, Legyen a külső henger sugara .
Írjuk fel a Gauss-tételt egy sugarú hengerfelületre, mely a töltött hengerrel koncentrikusan helyezkedik el. Így meghatározhatjuk az elektromos eltolás nagyságát:
Az elektromos térerősség a dielektrikumban:
A dielektrikumon kívül pedig:
A töltésen végzett munka, miközben -ből -be visszük:
Ha potenciál referencia pontját a hengertől egységnyi távolságra vesszük fel, akkor:
Ebből kifejezhető a felületi töltéssűrűség:
b, A térerősséget ábrázolva
c, A dielektrikum akkor üt át, ha a benne lévő legnagyobb elektromos tér nagyobb, mint a dielektrikum átütési szilárdsága. A legnagyobb tér a dielektrikumban a henger felületén van. Ezért a legkisebb töltéssűrűség, ami ahhoz kell, hogy a dielektrikum átüssön:
Teljesen hasonlóan a legkisebb töltéssűrűség, ami ahhoz kell, hogy a levegő átüssön:
Ezért a henger felületére vihető legnagyobb töltéssűrűség: