„Elektrosztatika példák - Egyenletesen töltött gömbtérfogat energiája” változatai közötti eltérés
(Új oldal, tartalma: „<noinclude> Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 2. Kategória:Szerkesztő:Beleznai Kategória:Elektrosztatika {{Kísérleti fizika gyakorlat | tárgynév …”) |
(→Feladat) |
||
8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
− | </noinclude><wlatex>#Egy $R$ sugarú gömbben homogén $\rho$ töltéssűrűség van. Határozzuk meg az elrendezés energiáját!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$W=\dfrac{4 \rho^2 \pi R^5}{15 \varepsilon_0}$$}} | + | </noinclude><wlatex>#Egy $R$ sugarú gömbben homogén $\rho$ térfogati töltéssűrűség van. Határozzuk meg az elrendezés energiáját!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$W=\dfrac{4 \rho^2 \pi R^5}{15 \varepsilon_0}$$}} |
</wlatex></includeonly><noinclude> | </wlatex></includeonly><noinclude> | ||
+ | |||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex> | <wlatex> |
A lap 2013. szeptember 14., 20:34-kori változata
Feladat
- Egy sugarú gömbben homogén térfogati töltéssűrűség van. Határozzuk meg az elrendezés energiáját!
Megoldás
A töltéselrendezés energiájához ismernünk kell a térerősséget a tér minden pontjában. Először a gömbön belül határozzuk meg a teret. Felveszünk egy sugarú gömbfelületet, melynek centruma egybe esik a töltött gömbével. Meghatározzuk, mekkora töltést zár magába az sugarú zárt felület:
A zárt felületre felírjuk a Gauss törvényt:
A rendszer gömbszimmetriája miatt az sugarú felület minden pontjában azonos nagyságú térerősséget mérhetünk, továbbá kijelenthetjük, hogy a térerősség vektorok minden pontban merőlegesek a felületre. Így a Gauss integrál jelentősen egyszerűsödik:
Ebből kifejezve -t megkapjuk a térerősséget a gömb belsejében a centrumtól mért távolság függvényében:
A gömbön kívüli teret () szintén a Gauss törvény segítségével határozhatjuk meg:
Itt a gömb teljes töltését jelenti:
Tehát a gömbön kívüli tér:
Az elektromos tér energiasűrűsége az alábbiak szerint definiálható:
A tér teljes energiája az energiasűrűség integrálja a teljes térre: