„Elektrosztatika példák - Egyenletesen töltött gömbtérfogat energiája” változatai közötti eltérés
(Új oldal, tartalma: „<noinclude> Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 2. Kategória:Szerkesztő:Beleznai Kategória:Elektrosztatika {{Kísérleti fizika gyakorlat | tárgynév …”) |
(→Megoldás) |
||
(egy szerkesztő egy közbeeső változata nincs mutatva) | |||
8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
− | </noinclude><wlatex>#Egy $R$ sugarú gömbben homogén $\rho$ töltéssűrűség van. Határozzuk meg az elrendezés energiáját!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$W=\dfrac{4 \rho^2 \pi R^5}{15 \varepsilon_0}$$}} | + | </noinclude><wlatex>#Egy $R$ sugarú gömbben homogén $\rho$ térfogati töltéssűrűség van. Határozzuk meg az elrendezés energiáját!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$W=\dfrac{4 \rho^2 \pi R^5}{15 \varepsilon_0}$$}} |
</wlatex></includeonly><noinclude> | </wlatex></includeonly><noinclude> | ||
+ | |||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex> | <wlatex> | ||
24. sor: | 25. sor: | ||
$$\dfrac{4r^3\pi \rho}{3 \varepsilon_0}=\oint \overline{EdA}=4r^2\pi E$$ | $$\dfrac{4r^3\pi \rho}{3 \varepsilon_0}=\oint \overline{EdA}=4r^2\pi E$$ | ||
− | Ebből kifejezve $E$-t megkapjuk a | + | Ebből kifejezve $E$-t, megkapjuk a térerősség nagyságát a gömb belsejében a centrumtól mért $r<R$ távolság függvényében: |
$$E_{bent}=\dfrac{\rho}{3 \varepsilon_0}r$$ | $$E_{bent}=\dfrac{\rho}{3 \varepsilon_0}r$$ | ||
36. sor: | 37. sor: | ||
$$Q=\dfrac{4 R^3 \pi \rho}{3}$$ | $$Q=\dfrac{4 R^3 \pi \rho}{3}$$ | ||
− | Tehát a gömbön kívüli tér: | + | Tehát a gömbön kívüli tér nagysága: |
$$E_{kint}=\dfrac{\rho}{3 \varepsilon_0}\dfrac{R^3}{r^2}$$ | $$E_{kint}=\dfrac{\rho}{3 \varepsilon_0}\dfrac{R^3}{r^2}$$ |
A lap jelenlegi, 2013. szeptember 14., 20:38-kori változata
Feladat
- Egy sugarú gömbben homogén térfogati töltéssűrűség van. Határozzuk meg az elrendezés energiáját!
Megoldás
A töltéselrendezés energiájához ismernünk kell a térerősséget a tér minden pontjában. Először a gömbön belül határozzuk meg a teret. Felveszünk egy sugarú gömbfelületet, melynek centruma egybe esik a töltött gömbével. Meghatározzuk, mekkora töltést zár magába az sugarú zárt felület:
A zárt felületre felírjuk a Gauss törvényt:
A rendszer gömbszimmetriája miatt az sugarú felület minden pontjában azonos nagyságú térerősséget mérhetünk, továbbá kijelenthetjük, hogy a térerősség vektorok minden pontban merőlegesek a felületre. Így a Gauss integrál jelentősen egyszerűsödik:
Ebből kifejezve -t, megkapjuk a térerősség nagyságát a gömb belsejében a centrumtól mért távolság függvényében:
A gömbön kívüli teret () szintén a Gauss törvény segítségével határozhatjuk meg:
Itt a gömb teljes töltését jelenti:
Tehát a gömbön kívüli tér nagysága:
Az elektromos tér energiasűrűsége az alábbiak szerint definiálható:
A tér teljes energiája az energiasűrűség integrálja a teljes térre: