„Elektrosztatika példák - Egyenletesen töltött gömbtérfogat energiája” változatai közötti eltérés
(→Feladat) |
(→Megoldás) |
||
25. sor: | 25. sor: | ||
$$\dfrac{4r^3\pi \rho}{3 \varepsilon_0}=\oint \overline{EdA}=4r^2\pi E$$ | $$\dfrac{4r^3\pi \rho}{3 \varepsilon_0}=\oint \overline{EdA}=4r^2\pi E$$ | ||
− | Ebből kifejezve $E$-t megkapjuk a | + | Ebből kifejezve $E$-t, megkapjuk a térerősség nagyságát a gömb belsejében a centrumtól mért $r<R$ távolság függvényében: |
$$E_{bent}=\dfrac{\rho}{3 \varepsilon_0}r$$ | $$E_{bent}=\dfrac{\rho}{3 \varepsilon_0}r$$ | ||
37. sor: | 37. sor: | ||
$$Q=\dfrac{4 R^3 \pi \rho}{3}$$ | $$Q=\dfrac{4 R^3 \pi \rho}{3}$$ | ||
− | Tehát a gömbön kívüli tér: | + | Tehát a gömbön kívüli tér nagysága: |
$$E_{kint}=\dfrac{\rho}{3 \varepsilon_0}\dfrac{R^3}{r^2}$$ | $$E_{kint}=\dfrac{\rho}{3 \varepsilon_0}\dfrac{R^3}{r^2}$$ |
A lap jelenlegi, 2013. szeptember 14., 20:38-kori változata
Feladat
- Egy sugarú gömbben homogén térfogati töltéssűrűség van. Határozzuk meg az elrendezés energiáját!
Megoldás
A töltéselrendezés energiájához ismernünk kell a térerősséget a tér minden pontjában. Először a gömbön belül határozzuk meg a teret. Felveszünk egy sugarú gömbfelületet, melynek centruma egybe esik a töltött gömbével. Meghatározzuk, mekkora töltést zár magába az sugarú zárt felület:
A zárt felületre felírjuk a Gauss törvényt:
A rendszer gömbszimmetriája miatt az sugarú felület minden pontjában azonos nagyságú térerősséget mérhetünk, továbbá kijelenthetjük, hogy a térerősség vektorok minden pontban merőlegesek a felületre. Így a Gauss integrál jelentősen egyszerűsödik:
Ebből kifejezve -t, megkapjuk a térerősség nagyságát a gömb belsejében a centrumtól mért távolság függvényében:
A gömbön kívüli teret () szintén a Gauss törvény segítségével határozhatjuk meg:
Itt a gömb teljes töltését jelenti:
Tehát a gömbön kívüli tér nagysága:
Az elektromos tér energiasűrűsége az alábbiak szerint definiálható:
A tér teljes energiája az energiasűrűség integrálja a teljes térre: