„Elektrosztatika példák - Hengeres vezetékből és végtelen vezető síkból álló rendszer kapacitása” változatai közötti eltérés
(→Feladat) |
(→Megoldás) |
||
15. sor: | 15. sor: | ||
Induljunk ki az előző, [[Elektrosztatika példák - Párhuzamos hengeres vezetékek kapacitása|Párhuzamos hengeres vezetékek kapacitása]] megoldásából. Ott kiszámítottuk, hogy két egymástól $b$ távolságra levő párhuzamos, $a$ sugarú, $l$ hosszúságú fémhenger kapacitása: | Induljunk ki az előző, [[Elektrosztatika példák - Párhuzamos hengeres vezetékek kapacitása|Párhuzamos hengeres vezetékek kapacitása]] megoldásából. Ott kiszámítottuk, hogy két egymástól $b$ távolságra levő párhuzamos, $a$ sugarú, $l$ hosszúságú fémhenger kapacitása: | ||
− | $$C^*=\dfrac{\pi l \varepsilon_0}{ln \left( \dfrac{b | + | $$C^*=\dfrac{\pi l \varepsilon_0}{ln \left( \dfrac{b}{a} \right)}$$ |
Válasszuk a hengerek távolságát $b=2d$-nek. Ebben az esetben a kapacitás:\ | Válasszuk a hengerek távolságát $b=2d$-nek. Ebben az esetben a kapacitás:\ | ||
− | $$C^*=\dfrac{\pi l \varepsilon_0}{ln \left( \dfrac{2d | + | $$C^*=\dfrac{\pi l \varepsilon_0}{ln \left( \dfrac{2d}{a} \right)}$$ |
Vegyük észre, hogy a párhuzamos hengerek 1. ábrán jelölt szimmetriasíkja egy ekvipotenciális felület. Ez könnyen belátható, hiszen ezt a síkot az elektromos tér erővonalai mindenütt merőlegesen döfik. Emiatt a síkban egy próbatöltést tetszőlegesen mozgathatunk munkavégzés nélkül, tehát a sík pontjai azonos potenciálon vannak. | Vegyük észre, hogy a párhuzamos hengerek 1. ábrán jelölt szimmetriasíkja egy ekvipotenciális felület. Ez könnyen belátható, hiszen ezt a síkot az elektromos tér erővonalai mindenütt merőlegesen döfik. Emiatt a síkban egy próbatöltést tetszőlegesen mozgathatunk munkavégzés nélkül, tehát a sík pontjai azonos potenciálon vannak. |
A lap 2021. március 8., 14:45-kori változata
Feladat
- hosszúságú egyenes hengeres vezeték párhuzamosan helyezkedik el egy végtelen vezető síkkal. A vezeték keresztmetszetének sugara , a távolság a vezeték síkhoz legközelebbi pontja és a sík között . Mekkora a rendszer kapacitása? ()
Megoldás
Induljunk ki az előző, Párhuzamos hengeres vezetékek kapacitása megoldásából. Ott kiszámítottuk, hogy két egymástól távolságra levő párhuzamos, sugarú, hosszúságú fémhenger kapacitása:
Válasszuk a hengerek távolságát -nek. Ebben az esetben a kapacitás:\
Vegyük észre, hogy a párhuzamos hengerek 1. ábrán jelölt szimmetriasíkja egy ekvipotenciális felület. Ez könnyen belátható, hiszen ezt a síkot az elektromos tér erővonalai mindenütt merőlegesen döfik. Emiatt a síkban egy próbatöltést tetszőlegesen mozgathatunk munkavégzés nélkül, tehát a sík pontjai azonos potenciálon vannak.
S ha így van, egy vékony fémlapot is elhelyezhetünk ebben a síkban anélkül, hogy az elektromos tér változást szenvedne. Az így kapott elrendezés ekvivalens két sorba kapcsolt síklap-henger kondenzátorral, mely a jelen feladat kitűzésében szerepel. Gondolatkísérletünkkel tehát beláttuk, hogy a kapacitású síklap-henger kondenzátor, és a fent hivatkozott kapacitású henger-henger kondenzátor kapacitásaira igaz az alábbi összefüggés:
Ebből kifejezve -t: