„Elektrosztatika példák - Két azonos sugarú fémgömbből álló rendszer kapacitása” változatai közötti eltérés
(Eltávolította a lap teljes tartalmát) |
|||
1. sor: | 1. sor: | ||
+ | <noinclude> | ||
+ | [[Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 2.]] | ||
+ | [[Kategória:Szerkesztő:Beleznai]] | ||
+ | [[Kategória:Elektrosztatika]] | ||
+ | {{Kísérleti fizika gyakorlat | ||
+ | | tárgynév = Kísérleti fizika gyakorlat 2. | ||
+ | | témakör = Elektrosztatika - Kapacitás, kondenzátorok. Elrendezések energiája | ||
+ | }} | ||
+ | == Feladat == | ||
+ | </noinclude><wlatex>#Mekkora két azonos , $a$ sugarú fémgömbből álló rendszer kapacitása, ha gömbök középpontjai egymástól $b$ távolságra helyezkednek el? ($b>>a$)</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$C=\dfrac{Q}{U_{AB}}=\dfrac{2\pi \varepsilon_0}{\left( \dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b-a} \right)}$$}} | ||
+ | </wlatex></includeonly><noinclude> | ||
+ | == Megoldás == | ||
+ | <wlatex> | ||
+ | Legyen $Q$ töltése az egyik, $-Q$ töltése a másik fémgömbnek. | ||
+ | Gauss tétel segítségével könnyen meghatározhatjuk a $Q$ töltésű gömb által keltett teret ar $r$ távolság függvényében: | ||
+ | |||
+ | $$E_{(r)}=\dfrac{Q}{4\pi \varepsilon_0}\dfrac{1}{r^2}$$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | A $Q$ töltéssel bíró gömb által keltett tér hatására $U_{AB1}$ potenciálkülönbség jön létre az 1. ábrán látható A és B pontok között. Az $U_{AB1}$ meghatározható, ha a gömb elektromos terét integráljuk $A$ és $B$ pontok között: | ||
+ | |||
+ | $$U_{AB1}=-\int_{A}^{B}E_{(r)}dr-\int_{a}^{b-a}E_{(r)}dr=-\dfrac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \int_{a}^{b-a} \dfrac{1}{r^2} dr=\dfrac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \left( \dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b-a} \right)$$ | ||
+ | |||
+ | A két gömbből álló rendszer tükörszimmetriájából következik, hogy a másik, $-Q$ töltésű gömb által az $A$ és $B$ pontok között létrehozott $U_{AB2}$ potenciálkülönbség megegyezik az első gömb által keltett $U_{AB1}$ potenciálkülönbséggel. ($U_{AB1}=U_{AB2}$) Tekintve, hogy a potenciáltér lineáris, a két gömbfelület között mért potenciálkülönbség az egyes gömbök által keltett potenciálkülönbségek összege: | ||
+ | |||
+ | $$U_{AB}=U_{AB1}+U_{AB2}=2U_{AB1}=\dfrac{Q}{2\pi \varepsilon_0} \left( \dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b-a} \right)$$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | A rendszer kapacitása: | ||
+ | |||
+ | $$C=\dfrac{Q}{U_{AB}}=\dfrac{2\pi \varepsilon_0}{\left( \dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b-a} \right)}$$ | ||
+ | </wlatex> | ||
+ | </noinclude> |
A lap 2013. július 1., 18:23-kori változata
Feladat
- Mekkora két azonos , sugarú fémgömbből álló rendszer kapacitása, ha gömbök középpontjai egymástól távolságra helyezkednek el? ()
Megoldás
Legyen töltése az egyik, töltése a másik fémgömbnek.
Gauss tétel segítségével könnyen meghatározhatjuk a töltésű gömb által keltett teret ar távolság függvényében:
A töltéssel bíró gömb által keltett tér hatására potenciálkülönbség jön létre az 1. ábrán látható A és B pontok között. Az meghatározható, ha a gömb elektromos terét integráljuk és pontok között:
A két gömbből álló rendszer tükörszimmetriájából következik, hogy a másik, töltésű gömb által az és pontok között létrehozott potenciálkülönbség megegyezik az első gömb által keltett potenciálkülönbséggel. () Tekintve, hogy a potenciáltér lineáris, a két gömbfelület között mért potenciálkülönbség az egyes gömbök által keltett potenciálkülönbségek összege:
A rendszer kapacitása: