Elektrosztatika példák - Szigetelővel töltött hengerkondenzátor

A Fizipedia wikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen Beleznai (vitalap | szerkesztései) 2013. július 28., 12:50-kor történt szerkesztése után volt.

Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 2.
Gyakorlatok listája:
  1. Erőhatások elektromos erőtérben, elektromos térerősség
  2. Elektromos potenciál
  3. Dielektrikumok, Gauss-tétel. Kapacitás, kondenzátorok
  4. Kapacitás, kondenzátorok. Elrendezések energiája
  5. Vezetőképesség, áramsűrűség
  6. Biot-Savart törvény, gerjesztési törvény
  7. Erőhatások mágneses térben
  8. Mágneses térerősség. Kölcsönös és öninduktivitás
  9. Az indukció törvénye, mozgási indukció
  10. Mágneses tér energiája. Váltakozó áram, eltolási áram
Elektrosztatika - Dielektrikumok, Gauss-tétel. Kapacitás, kondenzátorok
Feladatok listája:
  1. Kétrétegű dielektrikummal töltött síkkondenzátor
  2. Fémlappal töltött síkkondenzátor
  3. Változó permittivitású dielektrikummal töltött síkkondenzátor
  4. Dielektriumba helyezett fémgömb potenciáltere
  5. Dielektrikummal határolt végtelen töltött henger
  6. Szigetelővel töltött hengerkondenzátor
  7. Változó permittivitású dielektrikummal töltött gömbkondenzátor
  8. Síkkondenzátor, munkavégzés
  9. Hengerfelületre feltekert síkkondenzátor
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Végtelen hosszú hengerkondenzátorban kétféle szigetelő anyag van az ábrán látható módon elrendezve. A hengerkondenzátor fegyverzeteinek sugara \setbox0\hbox{$R_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$R_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, és \setbox0\hbox{$h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hosszúságú szakaszon a töltésük \setbox0\hbox{$+Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és\setbox0\hbox{$-Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.A szigetelők relatív permittivitása \setbox0\hbox{$\epsilon_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$\epsilon_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.
    a) Írja fel az \setbox0\hbox{$\vec{E}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% térerősség vektor nagyságát, mint a sugár függvényét mindkét szigetelőben!
    b) Írja fel a \setbox0\hbox{$\vec{D}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% elektromos eltolás vektor nagyságát, mint a sugár függvényét mindkét szigetelőben!
    c) Határozza meg a \setbox0\hbox{$h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hosszúságú szakasz kapacitását!
    d) Mekkora lehet a \setbox0\hbox{$Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% töltés, ha kondenzátorban a szigetelő anyagok, a rájuk jellemző kritikus térerősség (\setbox0\hbox{$E_{kr1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%,\setbox0\hbox{$E_{kr2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) felett átütnek, és elveszítik szigetelő tulajdonságukat?
    KFGY2-3-6.png

Megoldás


a, Írjuk fel a Gauss-tételt egy \setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugarú, \setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hosszúságú , a fegyverzetekkel koncentrikus hengerre.

\[\int \vec{D}\cdot\vec{dA} = Q\]

Mivel az elektromos eltolás más a két szigetelőben, ezért:

\[\vec{D}_1\frac{1}{4} 2\pi r l +\vec{D}_2\frac{3}{4} 2 \pi r l = Q\]
\[2\pi r l\cdot\left(\frac{\vec{D}_1}{4}+\frac{3\cdot \vec{D}_2}{4}\right) = Q\]

Mivel az elektromos térerősség tangenciális (sugár irányú) komponense folytonosan megy át a közeghatáron, ezért az, mindkét térrészben egyforma.

\[2\pi r l \left(\frac{\epsilon_0\epsilon_1\cdot\vec{E}}{4}+\frac{\epsilon_0\epsilon_2\cdot 3\cdot \vec{E}}{4}\right) = Q\]
\[\vec{E} = \frac{Q}{2\pi l r \epsilon_0}\cdot\left(\frac{1}{\frac{\epsilon_1}{4}+\frac{3\epsilon_2}{4}} \right) \]

b, Az előző rész eredményeit felhasználva az elektromos eltolás a két közegben:

\[\vec{D_1} = \epsilon_1\cdot\vec{E} = \frac{\epsilon_1 Q}{2\pi l r \epsilon_0}\cdot\left(\frac{1}{\frac{\epsilon_1}{4}+\frac{3\epsilon_2}{4}} \right)\]
\[\vec{D_2} = \epsilon_2\cdot\vec{E} = \frac{\epsilon_2 Q}{2\pi l r \epsilon_0}\cdot\left(\frac{1}{\frac{\epsilon_1}{4}+\frac{3\epsilon_2}{4}} \right)\]

c, A fegyverzetek közötti potenciálkülönbség:

\[U = \int_{R1}^{R_2}\vec{E}\cdot\vec{dr} = \frac{2Q}{\pi l \epsilon_0}\cdot\left(\frac{1}{\epsilon_1+3\epsilon_2} \right)\cdot\ln\left(\frac{R_2}{R_1}\right) \]

Ebből a A kapacitás:

\[C = \frac{Q}{U} = \frac{\pi\epsilon_0 l\cdot\left(\epsilon_1+3\epsilon_2\right)}{2\cdot\ln\left(\frac{R_2}{R_1}\right)}\]

d, A kondenzátor akkor üt át, ha a kilakuló legnagyobb térerősség, nagyobb, mint a kritikus térerősség. A legnagyobb tér a kondenzátorban a belső hengerfelületen van, ezért a felvihető legnagyobb töltés:

\[Q_{max} = 2 E_{kr} \pi l R_1\epsilon_0\cdot\left(\frac{3\epsilon_2}{4}+\frac{\epsilon_1}{4}\right)\]

Ahol \setbox0\hbox{$E_{kr} = \min\left(E_{kr1},E_{kr2}\right)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%