Magnetosztatika példák - Tekercsben indukált elektromotoros erő változó mágneses térben

Feladat

1. Egy $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú hosszegységenként $\setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ menetű, hosszú tekercsben $\setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ áram folyik. Ennek a tekercsnek a közepébe helyezünk egy koaxiális, azonos keresztmetszetű, $\setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ menetű, $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ellenállással lezárt tekercset. Mennyi töltés fog áthaladni a második tekercsen, ha az elsőben az áram irányát $\setbox0\hbox{$\Delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ idő alatt egyenletesen az ellenkezőjére változtatjuk?

Megoldás

Egy szolenoid terét kifejezhetjük a hosszegységre jutó menetszámmal:

$\[B = \mu_0 n I\]$

Ha az áramot ellenkezőjére változtatjuk, akkor a mágneses tér megváltozása a tekercsben:

$\[\Delta B =\mu_0 n I - (-\mu_0 n I) = 2\mu_0 n I \]$

Tegyük fel, hogy az áramirány megfordulása $\setbox0\hbox{$\Delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ idő alatt következett be úgy, hogy az áramerősség időbeli változása mindvégig egyenletes volt. Ebben az esetben a szekunder tekercsben indukálódó feszültség:

$\[U = -N\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = -N\cdot A \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t}\]$

A szekunder tekercset lezáró $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ellenálláson átfolyó töltés mennyisége pedig:

$\[Q = I\cdot \Delta t = \frac{U}{R}\cdot \Delta t = - N A \frac{\Delta B}{\Delta t}\frac{\Delta t}{R}\]$

Látható, hogy a töltés mennyisége független az áramirány megfordulásának sebességétől:

$\[Q = \frac{2\mu_0 n N I r^2 \pi}{R}\]$