Magnetosztatika példák - Vezető keret, mozgási indukicó
Feladat
- Egy végtelen hosszúnak tekinthető egyenes vezetőben
áram folyik. A vezetőtől
ill.
távolságban vele párhuzamosan elhelyezett két vezető egyik vége egy
ellenálláson keresztül össze van kötve. A két párhuzamos vezetőn egy rájuk merőlegesen elhelyezett vezetőt csúsztatunk
sebességgel.
a) Határozza meg a vezető keretben indukált áram irányát és nagyságát. (A vezetők ellenállása elhanyagolható)
b) Állapítsa meg az az erőt, amely az állandó sebesség fenntartásához szükséges, valamint azáramot szállító vezetőtől azt az
távolságot, ahol ennek az erőnek támadnia kell!
c) Határozza meg a vezető mozgatásához szükséges teljesítményt.
Megoldás
a, Az egyenes vezető tere távolságban:
![\[B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}\]](/images/math/9/e/3/9e32da945335169ac8367104ad55c3ce.png)
A vezetőkeretben indukált feszültség a Faraday-féle indukciós törvény értelmében:
![\[U = -\frac{\partial \Phi}{\partial t} = -\frac{\partial}{\partial t} \int_a^b \frac{\mu_0 I}{2\pi r} vt dr = - \frac{\mu_0 I v}{2\pi}\ln\left(\frac{b}{a}\right) \]](/images/math/1/a/3/1a375b740b34bc7b909b9bdfb68eed34.png)
A vezetőkeretben induló áram:
![\[I_{ind} = \frac{U}{R} = - \frac{\mu_0 I v}{2\pi R}\ln\left(\frac{b}{a}\right) \]](/images/math/f/b/1/fb1b2fa8ec1e01cf3db230c94a2b6f11.png)
A vezetőkeretben indukált áram által létrehozott mágneses tér a egyenesvezető terével ellentétes irányú lesz a Lenz törvény értelmében. Mivel az ábra szerint az egyenes vezetőben lefelé folyik az áram, ezért a vezető keretben az indukált áram az óra járásával megegyező irányban fog folyni.
b, A keret mozgatásához szükséges erő nagyságának meg kell egyeznie a rúdra ható Lorentz erő nagyságával. Mivel a rúd inhomogén mágneses térben mozog, a rúd elemi szakaszaira más-más Lorentz erő hat:
![\[d\vec{F} = I_{ind} \int \vec{B} \times \vec{dl} \]](/images/math/6/9/2/692a4f346e02d1ef2110472168a74290.png)
Mivel a mágneses tér mindenütt merőleges a rúdra, az eredő erő nagyságát megkaphatjuk az elemi szakaszokra ható Lorentz erők skaláris integrálásával. Tehát a rúd mozgatásához szükséges erő nagysága:
![\[F = \int_a^b \frac{\mu_0 I_{ind} I}{2\pi r} dr = \frac{\mu_0 I_{ind} I}{2\pi}\ln\left(\frac{b}{a}\right)\]](/images/math/a/8/8/a88de52d87a8c80b7367335aaa00f231.png)
Az húzóerő támadáspontját úgy kell megválasztanunk, hogy a húzóerő és a Lorentz erő rúdra kifejtett együttes forgatónyomatéka zérus legyen. Máskülönben a rúd elfordul, nem önmagával párhuzamosan mozdul el.
A Lorentz erő forgatónyomatékát az alábbi integrállal határozhatjuk meg. :
![\[M_L = \int_a^b \frac{\mu_0 I_{ind} I}{2\pi r} r dr = \frac{\mu_0 I_{ind} I}{2\pi}(b-a)\]](/images/math/8/6/d/86d3b43a3833855d824042860468f2b6.png)
Ahol a forgástengelyt az I árammal átjárt egyenes vezetőn vettük fel. A húzó erő forgatónyomatékát felírva ugyanerre a tengelyre:
![\[M_h = \frac{\mu_0 I_{ind} I}{2\pi}\ln\left(\frac{b}{a}\right) x\]](/images/math/0/3/8/038e45bd58a05c14bfe110c460ce463f.png)
Ahol a támadáspont és az egyenes vezető távolsága.
A nyomatékok egyensúlyára felírt egyenletből kifejezhetjük a támadáspont vonalvezetőtől mért távolságát:
![\[M_h = M_L \rightarrow x = \frac{(b-a)}{\ln\left(\frac{b}{a}\right)}\]](/images/math/7/5/2/75242dbd9dd59082fecd804b932e0d64.png)
c, A vezető mozgatásához szükséges teljesítmény:
![\[P = F\cdot v = \frac{\mu_0 I_{ind} I}{2\pi}\ln\left(\frac{b}{a}\right) v = \frac{\mu_0^2 I^2}{4\pi^2 R}\ln\left(\frac{b}{a}\right)^2 v^2 = U\cdot I\]](/images/math/c/2/7/c274c53a8c3dc49e54e6606d0ff9aa78.png)
Vagyis a vezető mozgatásához szükséges teljesítmény megegyezik az áramkörben disszipált elektromos teljesítménnyel.