Magnetosztatika példák - V alakú sínen mozgó vezetőben indukált áram

Feladat

1. Hosszegységenként $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ellenállású vezetéket úgy hajlítunk meg, hogy az ábrán látható módon $\setbox0\hbox{$2\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szöget alkosson. Egy könnyen csúszó rudat helyezünk az így kialakított sínre úgy, hogy ABC egyenlőszárú háromszöget alkot. A rúd ugyanabból a vezetőből készült, mint a sín. Az elrendezést a síkjára merőleges, homogén $\setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ indukciójú térbe helyezzük. Mekkora áram folyik a hurokban, amikor a rúd $\setbox0\hbox{$v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebességgel mozog? (A kontaktusoknál fellépő ellenállásoktól tekintsünk el.)
   

Megoldás

Geometriai megfontolások alapján az egyenlő szárú háromszög alapjának $\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hossza:

$\[a = 2m\cdot\tan(\alpha)\]$

ahol $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a rúd távolsága a C ponttól. Ezzel a háromszög területe:

$\[A = m^2\cdot\tan(\alpha) =v^2 t^2\cdot\tan(\alpha) \]$

Mivel a rúd egyenletes $\setbox0\hbox{$v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebességgel halad, ($\setbox0\hbox{$m = v\cdot t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) a keretben indukált feszültség értéke:

$\[U = -\frac{\partial \Phi}{\partial t} = -2 B v^2 t \cdot \tan(\alpha)\]$

A vezeték ellenállása pedig:

$\[R = r\cdot l\]$

ahol $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a vezető keret pillanatnyi kerülete.

$\[l = 2 m \left(\frac{1}{\cos(\alpha)}+\tan(\alpha)\right)\]$

A vezetőkeretben folyó áram pedig meghatározható az Ohm-törvény alapján:

$\[I = \frac{U}{R} =-\frac{ 2 B v^2 t \cdot \tan(\alpha) } {2 v t r \left(\frac{1}{\cos(\alpha)}+\tan(\alpha)\right)} = -\frac{B v \sin(\alpha)}{r \left(1+\sin(\alpha)\right)}\]$