Magnetosztatika példák - V alakú sínen mozgó vezetőben indukált áram

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 2.
Gyakorlatok listája:
  1. Erőhatások elektromos erőtérben, elektromos térerősség
  2. Elektromos potenciál
  3. Dielektrikumok, Gauss-tétel. Kapacitás, kondenzátorok
  4. Kapacitás, kondenzátorok. Elrendezések energiája
  5. Vezetőképesség, áramsűrűség
  6. Biot-Savart törvény, gerjesztési törvény
  7. Erőhatások mágneses térben
  8. Mágneses térerősség. Kölcsönös és öninduktivitás
  9. Az indukció törvénye, mozgási indukció
  10. Mágneses tér energiája. Váltakozó áram, eltolási áram
Magnetosztatika - Mozgási indukció
Feladatok listája:
  1. Forgó tekercsben indukált elektromotoros erő
  2. Parabola alakú vezetőben kialakult indukált feszültség
  3. Tekercsben indukált elektromotoros erő változó mágneses térben
  4. Vezető keret, mozgási indukicó
  5. Küllős fémtárcsában indukált elektromotoros erő
  6. V alakú sínen mozgó vezetőben indukált áram
  7. Lezárt sínen állandó erő erővel mozgatott vezető
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Hosszegységenként \setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% ellenállású vezetéket úgy hajlítunk meg, hogy az ábrán látható módon \setbox0\hbox{$2\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szöget alkosson. Egy könnyen csúszó rudat helyezünk az így kialakított sínre úgy, hogy ABC egyenlőszárú háromszöget alkot. A rúd ugyanabból a vezetőből készült, mint a sín. Az elrendezést a síkjára merőleges, homogén \setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% indukciójú térbe helyezzük. Mekkora áram folyik a hurokban, amikor a rúd \setbox0\hbox{$v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sebességgel mozog? (A kontaktusoknál fellépő ellenállásoktól tekintsünk el.)
    KFGY2-9-6uj2.png

Megoldás



Geometriai megfontolások alapján az egyenlő szárú háromszög alapjának \setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hossza:

\[a = 2m\cdot\tan(\alpha)\]

ahol \setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a rúd távolsága a C ponttól. Ezzel a háromszög területe:

\[A = m^2\cdot\tan(\alpha) =v^2 t^2\cdot\tan(\alpha) \]

Mivel a rúd egyenletes \setbox0\hbox{$v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sebességgel halad, (\setbox0\hbox{$m = v\cdot t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) a keretben indukált feszültség értéke:

\[U = -\frac{\partial \Phi}{\partial t} = -2 B v^2 t \cdot \tan(\alpha)\]

A vezeték ellenállása pedig:

\[R = r\cdot l\]

ahol \setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a vezető keret pillanatnyi kerülete.

\[l = 2 m \left(\frac{1}{\cos(\alpha)}+\tan(\alpha)\right)\]

A vezetőkeretben folyó áram pedig meghatározható az Ohm-törvény alapján:

\[I = \frac{U}{R} =-\frac{ 2 B v^2 t \cdot \tan(\alpha) }   {2 v t r \left(\frac{1}{\cos(\alpha)}+\tan(\alpha)\right)}   = -\frac{B v \sin(\alpha)}{r \left(1+\sin(\alpha)\right)}\]