Magnetosztatika példák - Végtelen vonalvezető és szalagvezető közötti mágneses erőhatás
Feladat
- Egy végtelen vonalvezető és egy
szélességű végtelen szalag egy síkban, párhuzamosan fekszik. A vonalvezető és a szalag közelebbi éle
távolságra van egymástól. A vonalvezetőben
, a szalagban ugyanilyen irányú
áram folyik. A szalagban az áramsűrűség homogén. Mekkora az egységnyi hosszra jutó vonzóerő a két vezető között?
Megoldás
Az Egyenes vezető mágneses tere feladatából tudjuk, hogy az árammal átjárt végtelen vonalvezető mágneses tere a következő:
![\[B(r)=\dfrac{\mu_0 I_1}{2 \pi r}\]](/images/math/3/a/5/3a549172d0d1f0a8dff9e90afc0abad0.png)
Ebben az inhomogén mágneses térben helyezkedik el a vezető szalag, melyet képzeletben elemi szélességű csíkokra bontunk. Az egyes csíkok
távolságra vannak a vonalvezetőtől. Az egy elemi csíkban folyó áram erőssége:
![\[dI=I_2\dfrac{dr}{b}\]](/images/math/9/c/f/9cf812f67d27e2ea3ceda35571bda560.png)
Ezek alapján már meghatározhatjuk az hosszúságú elemi csíkra ható infinitezimális Lorentz erőt:
![\[dF=lB(r)dI=\dfrac{I_2lB(r)}{b}dr\]](/images/math/8/0/4/804189a479368d6d3ea493f7721491de.png)
A Lorentz erő eredeti összefüggésében szereplő vektorszorzat azért egyszerűsíthető a mennyiségek nagyságának szorzatával, mert itt a mágneses tér merőleges az elemi vezetékek irányára. A Lorentz erő iránya a vonalvezető felé mutat.
Az elemi Lorentz erő fenti egyenletébe behelyettesítjük az inhomogén tér helyfüggését:
![\[dF=\dfrac{\mu_0 I_1 I_2l}{2\pi b r}dr\]](/images/math/1/8/e/18e9378a1644b46b554e55329d280af2.png)
Ha a teljes szalagra ható erőt meg akarjuk határozni, Az elemi Lorentz erőket fel kell összegezni a szalag szélessége mentén:
![\[F=\int dF=\dfrac{\mu_0 I_1 I_2l}{2\pi b} \int_a^{a+b} \dfrac{1}{r}dr=\dfrac{\mu_0 I_1 I_2l}{2\pi b} \ln\left( \dfrac{a+b}{a} \right)\]](/images/math/7/3/a/73ad60c7713bd120571abd3fe3e32822.png)