Magnetosztatika példák - Áramkörbe kapcsolt vezetékpárra ható erő

Feladat

1. Két egymással párhuzamos, elhanyagolható ellenállású, hosszú egyenes vezeték egyik végéhez $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ellenállást, másik végéhez telepet csatlakoztatunk. A hengeres vezetékek sugara $\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, tengelyük távolsága $\setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. ($\setbox0\hbox{$b>>a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) Mekkora $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ellenállásnál lesz a vezetékre ható eredő erő zérus?

Megoldás

Lássuk, milyen erők hatnak a vezetékpárra. Mivel ez egyik érben a fogyasztó felé, a másikban pedig a telep felé folyik $\setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ áram, egymásra taszító hatású Lorentz erőt fejtenek ki. Másfelől a vezetékek egyenként ekvipotenciálisak, hiszen ideális vezetők, de az ellenálláson eső feszültség miatt a két henger eltérő potenciálon van. A párhuzamos hengerek között tehát elektromos tér is mérhető, mely szükségszerűen feltételez pozitív illetve negatív töltésfelhalmozódást a hengerek felületén. Ezen ellentétes töltések a Coulomb törvény értelmében vonzzák egymást. Mivel mind a töltésfelhalmozódás mértéke, mind pedig a vezetékekben folyó áram nagysága függ a vezetékpárra kapcsolt $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ellenállás mértékétől, elképzelhető, hogy az ellenállás helyes megválasztásával a Coulomb és a Lorentz erők kiolthatják egymást.

Kapcsoljunk $\setbox0\hbox{$U$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ feszültséget a rendszerre. Ekkor a vezetékekben:

$\[I=\dfrac{U}{R}\]$

áram folyik. A 6. feladatsor 2. feladatából tudjuk, hogy a végtelen, áramjárta vezetők tengelyüktől $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságra:

$\[B=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}\]$

mágneses teret hoz létre. ez a tér örvényesen veszi körül a vezetéket. Ezek alapján az egyik vezeték a másik vezeték helyén:

$\[B=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi b}\]$

mágneses teret indukál, melyet a második vezeték teljes keresztmetszete mentén homogénnek tekintünk. (megtehetjük, hiszen $\setbox0\hbox{$b>>a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) Ebben az erőtérben a második vezető $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszára ható Lorentz erő:

$\[\vec{F_{Lor}}=I(\vec{l}\times \vec{B})\]$

Belátható, hogy ennek iránya a másik vezetőtől eltaszító mutat, nagysága pedig a vektorok ortogonalitása miatt:

$\[F_{Lor}=IBl=\dfrac{\mu_0 I^2 l}{2\pi b}=\dfrac{\mu_0 U^2 l}{2\pi R^2 b}\]$

Nézzük most a Coulomb kölcsönhatást! A Párhuzamos hengeres vezetékek kapacitása megoldásából tudjuk, hogy két $\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú, egymástól $\setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságra levő párhuzamos vezető hengernek van véges kapacitása és, kondenzátorként viselkedik. Ennek értelmében az egyik hengeren $\setbox0\hbox{$\lambda$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ míg a másik hengeren $\setbox0\hbox{$-\lambda$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ lineáris töltéssűrűség jelenik meg. Az említett feladat megoldása szerint ezen párhuzamos vezetékekből összeállított kondenzátor $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszán mérhető kapacitás:

$\[C=\dfrac{\pi \varepsilon_0 l}{\ln \left( \dfrac{b-a}{a} \right)}\]$

Ebből meghatározható a fegyverzeteken megjelenő $\setbox0\hbox{$\lambda$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ lineáris töltéssűrűség nagysága, ha a potenciálkülönbség $\setbox0\hbox{$U$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$:

$\[\lambda=\dfrac{Q}{l}=\dfrac{CU}{l}=\dfrac{\pi \varepsilon_0 U}{\ln \left( \dfrac{b-a}{a} \right)}\]$

Az első hengeren megjelenő $\setbox0\hbox{$\lambda$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ töltéssűrűség elektromos terét a Végtelen hosszú egyenes fonál elektromos tere 2. feladatát segítségül hívva határozhatjuk meg. Eszerint végtelen hosszú, $\setbox0\hbox{$\lambda$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ lineáris töltéssűrűséggel ellátott vonalvezető elektromos tere a vonalvezető tengelyétől sugárirányban kifelé mutat, nagysága a tengelytől mért $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságtól a következőképp függ:

$\[E(r)=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}\]$

Eszerint a jelen feladatban szereplő $\setbox0\hbox{$\lambda$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ töltéssűrűségű első henger a második henger helyén:

$\[E=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 b}=\dfrac{ U}{2b \ln \left( \dfrac{b-a}{a} \right)}\]$

teret kelt. Feltételezzük, hogy a második henger tengelyének kicsiny $\setbox0\hbox{$a<<b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ környezetén belül az első henger által keltett tér homogénnek tekinthető. Tehát a második henger $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú, $\setbox0\hbox{$-\lambda$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ töltéssűrűségű darabjára:

$\[F_{Cou}=QE=-\lambda l E=-\dfrac{\pi \varepsilon_0 lU^2}{2b\ln^2 \left( \dfrac{b-a}{a} \right)}\]$

Coulomb erő hat. A feladat, hogy megtaláljuk azt az $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ellenállást, melyet a vezetékpár végére kötve a Coulomb-féle vonzóerő és a Lorentz-féle taszító erő épp kioltják egymást, függetlenül attól, mekkora feszültséggel hajtjuk meg az áramkört. Az erőegyensúly feltétele:

$\[0=F_{Lor}+F_{Cou}\]$

Behelyettesítve az erőket a megadott mennyiségekkel kifejező összefüggéseket, az alábbi egyenletet kapjuk:

$\[\dfrac{\mu_0 U^2 l}{2\pi R^2 b}=-\dfrac{\pi \varepsilon_0 lU^2}{2b\ln^2 \left( \dfrac{b-a}{a} \right)}\]$

Az egyenletet megoldva $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-re, megkapjuk a kérdéses ellenállást:

$\[R=\dfrac{1}{\pi}\sqrt{ \dfrac{\mu_0}{\varepsilon_0} } \ln \left( \dfrac{b-a}{a} \right) \]$

Megjegyzés: Igen tetszetős, hogy a megoldásban megjelent az ún. vákuumimpedancia: $\setbox0\hbox{$\sqrt{ \dfrac{\mu_0}{\varepsilon_0} }$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. E szép univerzális konstans csak egy dimenziótlan, pusztán geometriai paraméterektől függő faktorral van megszorozva.