Magnetosztatika példák - Áramkörbe kapcsolt vezetékpárra ható erő

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 2.
Gyakorlatok listája:
  1. Erőhatások elektromos erőtérben, elektromos térerősség
  2. Elektromos potenciál
  3. Dielektrikumok, Gauss-tétel. Kapacitás, kondenzátorok
  4. Kapacitás, kondenzátorok. Elrendezések energiája
  5. Vezetőképesség, áramsűrűség
  6. Biot-Savart törvény, gerjesztési törvény
  7. Erőhatások mágneses térben
  8. Mágneses térerősség. Kölcsönös és öninduktivitás
  9. Az indukció törvénye, mozgási indukció
  10. Mágneses tér energiája. Váltakozó áram, eltolási áram
Magnetosztatika - Erőhatások mágneses térben
Feladatok listája:
  1. Félkör alakú vezető darabra ható erő
  2. Hurok és egyenes alakú áramvezető közötti mágneses erőhatás
  3. Vezetőkeretre ható forgatónyomaték
  4. Végtelen vonalvezető és szalagvezető közötti mágneses erőhatás
  5. Áramvezető elrendezésekre ható mágneses erőhatás
  6. Kör alakú áramhurok mágneseses momentuma
  7. Áramkörbe kapcsolt vezetékpárra ható erő
  8. Szolenoid mágneses tere (Ampere-féle gerjesztés)
  9. Szolenoid mágneses tere 2. (Biot-Savart)
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Két egymással párhuzamos, elhanyagolható ellenállású, hosszú egyenes vezeték egyik végéhez \setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% ellenállást, másik végéhez telepet csatlakoztatunk. A hengeres vezetékek sugara \setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, tengelyük távolsága \setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. (\setbox0\hbox{$b>>a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) Mekkora \setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% ellenállásnál lesz a vezetékre ható eredő erő zérus?

Megoldás


Lássuk, milyen erők hatnak a vezetékpárra. Mivel ez egyik érben a fogyasztó felé, a másikban pedig a telep felé folyik \setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% áram, egymásra taszító hatású Lorentz erőt fejtenek ki. Másfelől a vezetékek egyenként ekvipotenciálisak, hiszen ideális vezetők, de az ellenálláson eső feszültség miatt a két henger eltérő potenciálon van. A párhuzamos hengerek között tehát elektromos tér is mérhető, mely szükségszerűen feltételez pozitív illetve negatív töltésfelhalmozódást a hengerek felületén. Ezen ellentétes töltések a Coulomb törvény értelmében vonzzák egymást. Mivel mind a töltésfelhalmozódás mértéke, mind pedig a vezetékekben folyó áram nagysága függ a vezetékpárra kapcsolt \setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% ellenállás mértékétől, elképzelhető, hogy az ellenállás helyes megválasztásával a Coulomb és a Lorentz erők kiolthatják egymást.

Kapcsoljunk \setbox0\hbox{$U$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% feszültséget a rendszerre. Ekkor a vezetékekben:

\[I=\dfrac{U}{R}\]

áram folyik. A 6. feladatsor 2. feladatából tudjuk, hogy a végtelen, áramjárta vezetők tengelyüktől \setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% távolságra:

\[B=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}\]

mágneses teret hoz létre. ez a tér örvényesen veszi körül a vezetéket. Ezek alapján az egyik vezeték a másik vezeték helyén:

\[B=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi b}\]

mágneses teret indukál, melyet a második vezeték teljes keresztmetszete mentén homogénnek tekintünk. (megtehetjük, hiszen \setbox0\hbox{$b>>a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) Ebben az erőtérben a második vezető \setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hosszára ható Lorentz erő:

\[\vec{F_{Lor}}=I(\vec{l}\times \vec{B})\]

Belátható, hogy ennek iránya a másik vezetőtől eltaszító mutat, nagysága pedig a vektorok ortogonalitása miatt:

\[F_{Lor}=IBl=\dfrac{\mu_0 I^2 l}{2\pi b}=\dfrac{\mu_0 U^2 l}{2\pi R^2 b}\]

Nézzük most a Coulomb kölcsönhatást! A Párhuzamos hengeres vezetékek kapacitása megoldásából tudjuk, hogy két \setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugarú, egymástól \setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% távolságra levő párhuzamos vezető hengernek van véges kapacitása és, kondenzátorként viselkedik. Ennek értelmében az egyik hengeren \setbox0\hbox{$\lambda$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% míg a másik hengeren \setbox0\hbox{$-\lambda$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% lineáris töltéssűrűség jelenik meg. Az említett feladat megoldása szerint ezen párhuzamos vezetékekből összeállított kondenzátor \setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hosszán mérhető kapacitás:

\[C=\dfrac{\pi \varepsilon_0 l}{\ln \left( \dfrac{b-a}{a} \right)}\]

Ebből meghatározható a fegyverzeteken megjelenő \setbox0\hbox{$\lambda$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% lineáris töltéssűrűség nagysága, ha a potenciálkülönbség \setbox0\hbox{$U$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%:

\[\lambda=\dfrac{Q}{l}=\dfrac{CU}{l}=\dfrac{\pi \varepsilon_0 U}{\ln \left( \dfrac{b-a}{a} \right)}\]

Az első hengeren megjelenő \setbox0\hbox{$\lambda$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% töltéssűrűség elektromos terét a Végtelen hosszú egyenes fonál elektromos tere 2. feladatát segítségül hívva határozhatjuk meg. Eszerint végtelen hosszú, \setbox0\hbox{$\lambda$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% lineáris töltéssűrűséggel ellátott vonalvezető elektromos tere a vonalvezető tengelyétől sugárirányban kifelé mutat, nagysága a tengelytől mért \setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% távolságtól a következőképp függ:

\[E(r)=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}\]

Eszerint a jelen feladatban szereplő \setbox0\hbox{$\lambda$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% töltéssűrűségű első henger a második henger helyén:

\[E=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 b}=\dfrac{  U}{2b \ln \left( \dfrac{b-a}{a} \right)}\]

teret kelt. Feltételezzük, hogy a második henger tengelyének kicsiny \setbox0\hbox{$a<<b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% környezetén belül az első henger által keltett tér homogénnek tekinthető. Tehát a második henger \setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hosszúságú, \setbox0\hbox{$-\lambda$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% töltéssűrűségű darabjára:

\[F_{Cou}=QE=-\lambda l E=-\dfrac{\pi \varepsilon_0 lU^2}{2b\ln^2 \left( \dfrac{b-a}{a} \right)}\]

Coulomb erő hat. A feladat, hogy megtaláljuk azt az \setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% ellenállást, melyet a vezetékpár végére kötve a Coulomb-féle vonzóerő és a Lorentz-féle taszító erő épp kioltják egymást, függetlenül attól, mekkora feszültséggel hajtjuk meg az áramkört. Az erőegyensúly feltétele:

\[0=F_{Lor}+F_{Cou}\]

Behelyettesítve az erőket a megadott mennyiségekkel kifejező összefüggéseket, az alábbi egyenletet kapjuk:

\[\dfrac{\mu_0 U^2 l}{2\pi R^2 b}=-\dfrac{\pi \varepsilon_0 lU^2}{2b\ln^2 \left( \dfrac{b-a}{a} \right)}\]

Az egyenletet megoldva \setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-re, megkapjuk a kérdéses ellenállást:

\[R=\dfrac{1}{\pi}\sqrt{ \dfrac{\mu_0}{\varepsilon_0} }  \ln \left( \dfrac{b-a}{a} \right) \]

Megjegyzés: Igen tetszetős, hogy a megoldásban megjelent az ún. vákuumimpedancia: \setbox0\hbox{$\sqrt{ \dfrac{\mu_0}{\varepsilon_0} }$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. E szép univerzális konstans csak egy dimenziótlan, pusztán geometriai paraméterektől függő faktorral van megszorozva.