Termodinamika példák - Entrópiaváltozás hőcserében

Feladat

1. $\setbox0\hbox{$m=1 \,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű, $\setbox0\hbox{$T_0=273\,\mathrm{K}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékletű vizet termikus kapcsolatba hozunk egy $\setbox0\hbox{$T_H=373\,\mathrm{K}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékletű hőtartállyal.
   • a) Mekkora a víz entrópia-változása, miután a hőmérséklete elérte a hőtartály hőmérsékletét?
   • b) Mekkora eközben a hőtartály entrópia-változása?
   • c) Mekkora a teljes rendszerben (hőtartály és víz) létrejött entrópia-változás?
   • d) Mennyi a teljes rendszerben létrejött entrópia-változás, ha a testet először egy $\setbox0\hbox{$T_i=323\,\mathrm{K}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékletű hőtartállyal, majd az egyensúly beállta után a $\setbox0\hbox{$T_H=373\,\mathrm{K}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékletű hőtartállyal hozzuk kapcsolatba?
   • e) Lehet-e úgy melegíteni a vizet, hogy a teljes rendszer entrópia-változása kisebb legyen egy előírt értéknél (vagyis a folyamat előírt mértékben megközelítse a reverzíbilis folyamatot)?

Megoldás

a) A víz a közölt $\setbox0\hbox{$\delta Q=cm\,\mathrm{d}T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőt az aktuális $\setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékletén veszi fel:

$\[ \Delta S_\text{víz} = \int_{T_0}^{T_H} \frac{\delta Q}{T} = cm\ln \frac{T_H}{T_0} = 1306\,\mathrm{\frac{J}{K}}. \]$

b) A hőtartály hőmérséklete állandóan $\setbox0\hbox{$T_H$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, az általa leadott összes hőmennyiség nagysága megegyezik a víz által felvettel:

$\[ \Delta S_\text{hőtartály} = \frac{\Delta Q}{T_H} = \frac{-cm(T_H-T_0)}{T_H} = cm\left(\frac{T_0}{T_H}-1\right) = -1121\,\mathrm{\frac{J}{K}}. \]$

c) A teljes rendszer (vagy az univerzum) entrópiaváltozása a folyamat következtében

$\[ \Delta S = \Delta S_\text{víz} + \Delta S_\text{hőtartály} = cm\left(\left(\frac{T_0}{T_H}-1\right)-\ln \frac{T_0}{T_H}\right) = 185\,\mathrm{\frac{J}{K}} \ge 0\]$

d) Ha beiktatunk egy közbülső, $\setbox0\hbox{$T_i$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékletű hőtartályt, a víz entrópiaváltozása ugyanaz marad:

$\[ \Delta S_\text{víz}=\int_{T_0}^{T_i} \frac{\delta Q}{T}+\int_{T_i}^{T_H} \frac{\delta Q}{T}=\int_{T_0}^{T_H} \frac{\delta Q}{T}=cm\ln \frac{T_H}{T_0}, \]$

a hőtartályok viszont összességében is kisebb entrópianövekedést szenvednek el:

$\[ \Delta S_\text{hőtartályok} = \frac{\Delta Q}{T_H} = \frac{-cm(T_i-T_0)}{T_i} + \frac{-cm(T_H-T_i)}{T_H} = cm\left(\frac{T_0}{T_i}+\frac{T_i}{T_H}-2\right) = -1208\,\mathrm{\frac{J}{K}}. \]$

A teljes rendszer entrópiaváltozása

$\[ \Delta S = cm \left(\frac{T_0}{T_i}+\frac{T_i}{T_H}-2 - \ln \frac{T_0}{T_H}\right) = 98\mathrm{\frac{J}{K}}, \]$

ami kisebb, mint c)-ben.

Megjegyzés

Behelyettesítés nélkül a

$\[ \Delta S = cm \left(\frac{T_0}{T_H}-1-\left[1+\frac{T_0}{T_H}-\frac{T_0}{T_i}-\frac{T_i}{T_H}\right]\right)\]$

átalakítással tetszőleges $\setbox0\hbox{$T_0<T_i<T_H$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ értékre látható, hogy a c)-ben kapottnál kisebb érték adódott. A $\setbox0\hbox{$\Delta S_\text{hőtartályok} (T_i) = cm \left(\frac{T_0}{T_i}+\frac{T_i}{T_H}-2\right)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvény szélsőértékvizsgálatával belátható, hogy a legkisebb entrópiaváltozáshoz vezető hőmérséklet $\setbox0\hbox{$T_i=\sqrt{T_0 T_H}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a hozzá tartozó entrópiaváltozás $\setbox0\hbox{$\Delta S_\text{hőtartályok,min} = 2cm \left(\sqrt{\frac{T_0}{T_H}}-1\right)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

e) Láttuk, hogy egy köztes hőtartály csökkenti az entrópia-növekedést. Használjunk $\setbox0\hbox{$N\to\infty$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ darab hőtartályt ekvidisztáns $\setbox0\hbox{$\Delta T = \frac{T_H-T_0}{N}\to0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékletkülönbségekkel!

A víz entrópiaváltozása most is

$\[ \Delta S_\text{víz}=\int_{T_0}^{T_H} \frac{\delta Q}{T}=cm\ln \frac{T_H}{T_0} \]$

lesz, mivel a köztes hőmérsékletek kiesnek a képletből.

A hőtartályokra:

$\[ \Delta S_\text{hőtartályok} = \lim_{\substack{N\to\infty \\ \Delta T\to0}} cm \left(\frac{\Delta T}{T_1}+\frac{\Delta T}{T_2}+\ldots+\frac{\Delta T}{T_N}\right)=\]$

$\[ = -cm \lim_{\substack{N\to\infty \\ \Delta T\to0}} \sum _{i=1}^N\frac{\Delta T}{T_i} = cm\int_{T_0}^{T_H}\frac{\mathrm{d}T}{T}=-cm\ln \frac{T_H}{T_0} \]$

Tehát így $\setbox0\hbox{$\Delta S = \Delta S_\text{víz} + \Delta S_\text{hőtartályok}=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tetszőlegesen megközelíthető.