Termodinamika példák - Entrópiaváltozás izobár táguláskor

Feladat

1. Mennyivel változik meg $\setbox0\hbox{$m=1\,\mathrm{g}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nitrogéngáz entrópiája, ha állandó nyomáson $\setbox0\hbox{$V_1=1\,\mathrm{l}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ térfogatról $\setbox0\hbox{$V_2=5\,\mathrm{l}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ térfogatra expandáltatjuk.

Megoldás

Az entrópiaváltozás definíciója

$\[ \mathrm{d}S = \frac{\delta Q}{T}, \]$

amibe helyettesítsük be a közölt hő első főtételből kifejezett

$\[ \delta Q = \mathrm{d}U+p\,\mathrm{d}V \]$

alakját, ahol $\setbox0\hbox{$ \mathrm{d}U=n C_V\,\mathrm{d}T $}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$ p=\frac{nRT}{V}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$:

$\[ \mathrm{d}S= n C_V \frac{\mathrm{d}T}{T} + nR \frac{\mathrm{d}V}{V}. \]$

Kiintegrálva az egyenletet $\setbox0\hbox{$1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kezdeti- és $\setbox0\hbox{$2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ végállapot között:

$\[ S_2 - S_1 = n C_V \ln\frac{T_2}{T_1} + nR \ln\frac{V_2}{V_1}, \]$

ahol most izotermikusan $\setbox0\hbox{$p_2=p_1=p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ezért $\setbox0\hbox{$T_i=\frac{p}{nR}{V_i}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ($\setbox0\hbox{$i=1,2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$):

$\[ \Delta S = n C_p \ln \frac{V_2}{V_1}, \]$

ahol $\setbox0\hbox{$n=\frac{m}{\mu_\mathrm{N_2}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A nitrogén kétatomos közel ideális gáz ($\setbox0\hbox{$C_p=\frac{f+2}{2}R=\frac{7}{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$), móltömege $\setbox0\hbox{$\mu_\mathrm{N_2}=14{,}01\,\mathrm{\frac{g}{mol}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, amikkel $\setbox0\hbox{$\Delta S = 3{,}34\,\mathrm{\frac{J}{K}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.