„Magnetosztatika példák - Légrésben és a vasmagban tárolt energia” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
− | </noinclude><wlatex>#Egy $r$ középsugarú,$A$ átmérőjű vasgyűrűre $N$ menetet tekercselnek. A gyűrűn $b$ széles légrést alakítanak ki. A használatos gerjesztő áramoknál a vas relatív permeabilitása $\epsilon_r$. Határozzuk meg a légrésben és a vasmagban tárolt energia arányát! Az energiából mekkora öninduktivitás számolható? </wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content= | + | </noinclude><wlatex>#Egy $r$ középsugarú,$A$ átmérőjű vasgyűrűre $N$ menetet tekercselnek. A gyűrűn $b$ széles légrést alakítanak ki. A használatos gerjesztő áramoknál a vas relatív permeabilitása $\epsilon_r$. Határozzuk meg a légrésben és a vasmagban tárolt energia arányát! Az energiából mekkora öninduktivitás számolható? </wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=}}</wlatex></includeonly><noinclude> |
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex> | <wlatex> |
A lap 2013. július 15., 19:16-kori változata
Feladat
- Egy
középsugarú,
átmérőjű vasgyűrűre
menetet tekercselnek. A gyűrűn
széles légrést alakítanak ki. A használatos gerjesztő áramoknál a vas relatív permeabilitása
. Határozzuk meg a légrésben és a vasmagban tárolt energia arányát! Az energiából mekkora öninduktivitás számolható?
Megoldás
Írjuk fel az Amperé-féle gerjesztési törvényt egy a troid belsejében záródó görbére:
![\[\oint \vec{H}\vec{dl} = NI\]](/images/math/d/4/a/d4aeee9c0c10839acd185186b9ce06ee.png)
LaTex syntax error
\[H_{vas}2\pi\left(r-b\right)+H_{rés}2\pi b = N I\]
Mivel a mágneses indukció mindkét közegben egyforma, ezért:
![\[\frac{B}{\mu_0 \mu_r}2\pi \left(r-b\right) + \frac{B}{\mu_0}2\pi b = NI \]](/images/math/d/a/0/da010e02801a070b9f019e0f6f767453.png)
Ebből a mágneses indukció mindkét közegben:
LaTex syntax error
\[B = \frac{NI\mu_0}{2\pi\left(\frac{r-b}{\mu_r}+b}}\right)\]
A mágneses térerősség a két közegben:
LaTex syntax error
\[H_{vas} = \frac{B}{\mu_0 \mu_r} = \frac{NI}{2\pi\mu_r\left(\frac{r-b}{\mu_r}+b}}\right)\]
LaTex syntax error
\[H_{rés} = \frac{B}{\mu_0} = \frac{NI}{2\pi\left(\frac{r-b}{\mu_r}+b}}\right)\]
A vasmagban és a légtésben tárolt energiát úgy határozhatjuk meg, ha kiszámoljuk mindkét térrészben az energiasűrűséget (), és azt megszorozzuk térrész térfogatával.Ezzel a légrésben tárolt energia:
LaTex syntax error
\[E_{lég} = \frac{1}{2}\frac{N^2I^2\mu_0}{4\pi^2\left(\frac{r-b}{\mu_r}+b}\right)^2}\cdot V_{lég} =\frac{1}{2}\frac{N^2I^2\mu_0}{2\pi\left(\frac{r-b}{\mu_r}+b}\right)^2}\cdot Ab \]
A vasmagban pedig:
LaTex syntax error
\[E_{vas} = \frac{1}{2}\frac{N^2I^2\mu_0}{4\pi^2\mu_r\left(\frac{r-b}{\mu_r}+b}\right)^2}\cdot V_{vas} =\frac{1}{2}\frac{N^2I^2\mu_0}{2\pi\mu_r\left(\frac{r-b}{\mu_r}+b}\right)^2}\cdot A\left(r-b\right) \]
Ebből a légrésben és a vasmagban tárolt enerigia aránya:
LaTex syntax error
\[\frac{E_{lég}}{E_{vas}} = \frac{b}{\mu_r\left(r-b\right)}\]
Mivel a tekercsre igaz hogy:
![\[E = \frac{1}{2}LI^2\]](/images/math/e/f/5/ef51d84cb5742335df373d6d739981ab.png)
Ezért az energiából a következőképpen számolhatjuk ki az öninduktivitást:
LaTex syntax error
\[L = \frac{2\left(E_{vas}+E_{lég}\right)}{I^2}=\frac{N^2\mu_0}{2\pi\left(\frac{r-b}{\mu_r}+b}\right)}\cdot A\]