„Magnetosztatika példák - Légrésben és a vasmagban tárolt energia” változatai közötti eltérés
(→Feladat) |
|||
(egy szerkesztő 9 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
− | </noinclude><wlatex>#Egy $r$ középsugarú,$A$ | + | </noinclude><wlatex>#Egy $r$ középsugarú, $A$ keresztmetszetű vasgyűrűre $N$ menetet tekercselnek. A gyűrűn $b$ széles légrést alakítanak ki. A használatos gerjesztő áramoknál a vas relatív permeabilitása $\mu_r$. Határozzuk meg a légrésben és a vasmagban tárolt energia arányát! Az energiából mekkora öninduktivitás számolható? </wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$\frac{E_{leg}}{E_{vas}} = \frac{\mu_r b}{\left(2\pi r-b\right)}$$ <br> $$L = \frac{N^2\mu_0\mu_r A}{2 \pi r+b\left(\mu_r-1\right)}$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> |
+ | |||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex> | <wlatex> | ||
− | Írjuk fel az | + | Írjuk fel az Ampére-féle gerjesztési törvényt egy $r$ sugarú, a toroid belsejében elhelyezkedő körre, melynek tengelye a toroid forgástengelyével egybe esik: |
$$\oint \vec{H}\vec{dl} = NI$$ | $$\oint \vec{H}\vec{dl} = NI$$ | ||
− | $$H_{vas}2\pi | + | |
− | + | A mágneses tér az egyes közegekben állandó nagyságú, érintő irányú. Mivel az erővonalak a közeghatárokon merőlegesen haladnak át, a tér nagysága eltérő a két közegben. | |
− | $$\frac{B}{\mu_0 \mu_r}2\pi | + | |
− | Ebből a mágneses indukció | + | $$H_{vas}(2\pi r-b)+H_{res} b = N I$$ |
− | $$B = \frac{NI\mu_0}{ | + | |
− | A mágneses térerősség a két közegben: | + | A mágneses indukció nagysága viszont mindkét közegben egyforma, így: |
− | $$H_{vas} = \frac{B}{\mu_0 \mu_r} = \frac{NI}{ | + | |
− | $$H_{ | + | $$\frac{B}{\mu_0 \mu_r} (2\pi r-b) + \frac{B}{\mu_0} b = NI $$ |
− | A vasmagban és a | + | |
− | $$E_{ | + | Ebből a mágneses indukció nagyságát kifejezve: |
+ | |||
+ | $$B = \frac{NI\mu_0} {\left(\frac{2\pi r-b}{\mu_r}+b \right)} $$ | ||
+ | |||
+ | A mágneses térerősség nagysága a két közegben: | ||
+ | |||
+ | $$H_{vas} = \frac{B}{\mu_0 \mu_r} = \frac{NI}{\mu_r \left(\frac{2\pi r-b}{\mu_r}+b\right)}$$ | ||
+ | |||
+ | $$H_{res} = \frac{B}{\mu_0} = \frac{NI}{ \left(\frac{2\pi r-b}{\mu_r}+b\right)}$$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | A vasmagban és a légrésben tárolt energiát úgy határozhatjuk meg, hogy kiszámoljuk mindkét térrészben az energiasűrűséget ($w = \frac{1}{2}\vec{B}\cdot\vec{H}$), és azt megszorozzuk térrész térfogatával. A légrésben tárolt energia: | ||
+ | |||
+ | $$E_{leg} = \frac{1}{2} \frac{N^2I^2\mu_0} {\left( \frac{2\pi r-b}{\mu_r}+b\right)^2} \cdot V_{leg} =\frac{1}{2} \frac{N^2I^2\mu_0} {\left(\frac{2\pi r-b}{\mu_r}+b\right)^2}\cdot Ab $$ | ||
+ | |||
A vasmagban pedig: | A vasmagban pedig: | ||
− | $$E_{vas} = \frac{1}{2}\frac{N^2I^2\mu_0}{ | + | |
+ | $$E_{vas} = \frac{1}{2} \frac{N^2I^2\mu_0 } {\mu_r \left( \frac{2\pi r-b}{\mu_r}+b\right)^2} \cdot V_{vas} =\frac{1}{2} \frac{N^2I^2\mu_0 } {\mu_r \left(\frac{2\pi r-b}{\mu_r}+b\right)^2}\cdot A(2\pi r-b) $$ | ||
Ebből a légrésben és a vasmagban tárolt enerigia aránya: | Ebből a légrésben és a vasmagban tárolt enerigia aránya: | ||
− | $$\frac{E_{ | + | |
+ | $$\frac{E_{leg}}{E_{vas}} = \frac{\mu_r b}{\left(2\pi r-b\right)}$$ | ||
+ | |||
Mivel a tekercsre igaz hogy: | Mivel a tekercsre igaz hogy: | ||
+ | |||
$$E = \frac{1}{2}LI^2$$ | $$E = \frac{1}{2}LI^2$$ | ||
+ | |||
Ezért az energiából a következőképpen számolhatjuk ki az öninduktivitást: | Ezért az energiából a következőképpen számolhatjuk ki az öninduktivitást: | ||
− | $$L = \frac{2\left(E_{vas}+E_{ | + | |
+ | $$L = \frac{2 \left( E_{vas}+E_{leg} \right)} {I^2} = \frac{N^2\mu_0\mu_r A}{2 \pi r+b\left(\mu_r-1\right)}$$ | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap jelenlegi, 2014. április 24., 11:02-kori változata
Feladat
- Egy középsugarú, keresztmetszetű vasgyűrűre menetet tekercselnek. A gyűrűn széles légrést alakítanak ki. A használatos gerjesztő áramoknál a vas relatív permeabilitása . Határozzuk meg a légrésben és a vasmagban tárolt energia arányát! Az energiából mekkora öninduktivitás számolható?
Megoldás
Írjuk fel az Ampére-féle gerjesztési törvényt egy sugarú, a toroid belsejében elhelyezkedő körre, melynek tengelye a toroid forgástengelyével egybe esik:
A mágneses tér az egyes közegekben állandó nagyságú, érintő irányú. Mivel az erővonalak a közeghatárokon merőlegesen haladnak át, a tér nagysága eltérő a két közegben.
A mágneses indukció nagysága viszont mindkét közegben egyforma, így:
Ebből a mágneses indukció nagyságát kifejezve:
A mágneses térerősség nagysága a két közegben:
A vasmagban és a légrésben tárolt energiát úgy határozhatjuk meg, hogy kiszámoljuk mindkét térrészben az energiasűrűséget (), és azt megszorozzuk térrész térfogatával. A légrésben tárolt energia:
A vasmagban pedig:
Ebből a légrésben és a vasmagban tárolt enerigia aránya:
Mivel a tekercsre igaz hogy:
Ezért az energiából a következőképpen számolhatjuk ki az öninduktivitást: