„Magnetosztatika példák - Légrésben és a vasmagban tárolt energia” változatai közötti eltérés
(→Feladat) |
|||
(egy szerkesztő 7 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
− | </noinclude><wlatex>#Egy $r$ középsugarú,$A$ keresztmetszetű vasgyűrűre $N$ menetet tekercselnek. A gyűrűn $b$ széles légrést alakítanak ki. A használatos gerjesztő áramoknál a vas relatív permeabilitása $\ | + | </noinclude><wlatex>#Egy $r$ középsugarú, $A$ keresztmetszetű vasgyűrűre $N$ menetet tekercselnek. A gyűrűn $b$ széles légrést alakítanak ki. A használatos gerjesztő áramoknál a vas relatív permeabilitása $\mu_r$. Határozzuk meg a légrésben és a vasmagban tárolt energia arányát! Az energiából mekkora öninduktivitás számolható? </wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$\frac{E_{leg}}{E_{vas}} = \frac{\mu_r b}{\left(2\pi r-b\right)}$$ <br> $$L = \frac{N^2\mu_0\mu_r A}{2 \pi r+b\left(\mu_r-1\right)}$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> |
+ | |||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex> | <wlatex> | ||
− | Írjuk fel az | + | Írjuk fel az Ampére-féle gerjesztési törvényt egy $r$ sugarú, a toroid belsejében elhelyezkedő körre, melynek tengelye a toroid forgástengelyével egybe esik: |
$$\oint \vec{H}\vec{dl} = NI$$ | $$\oint \vec{H}\vec{dl} = NI$$ | ||
+ | |||
+ | A mágneses tér az egyes közegekben állandó nagyságú, érintő irányú. Mivel az erővonalak a közeghatárokon merőlegesen haladnak át, a tér nagysága eltérő a két közegben. | ||
$$H_{vas}(2\pi r-b)+H_{res} b = N I$$ | $$H_{vas}(2\pi r-b)+H_{res} b = N I$$ | ||
− | + | A mágneses indukció nagysága viszont mindkét közegben egyforma, így: | |
$$\frac{B}{\mu_0 \mu_r} (2\pi r-b) + \frac{B}{\mu_0} b = NI $$ | $$\frac{B}{\mu_0 \mu_r} (2\pi r-b) + \frac{B}{\mu_0} b = NI $$ | ||
− | Ebből a mágneses indukció | + | Ebből a mágneses indukció nagyságát kifejezve: |
$$B = \frac{NI\mu_0} {\left(\frac{2\pi r-b}{\mu_r}+b \right)} $$ | $$B = \frac{NI\mu_0} {\left(\frac{2\pi r-b}{\mu_r}+b \right)} $$ | ||
− | A mágneses térerősség a két közegben: | + | A mágneses térerősség nagysága a két közegben: |
$$H_{vas} = \frac{B}{\mu_0 \mu_r} = \frac{NI}{\mu_r \left(\frac{2\pi r-b}{\mu_r}+b\right)}$$ | $$H_{vas} = \frac{B}{\mu_0 \mu_r} = \frac{NI}{\mu_r \left(\frac{2\pi r-b}{\mu_r}+b\right)}$$ | ||
31. sor: | 34. sor: | ||
− | A vasmagban és a | + | A vasmagban és a légrésben tárolt energiát úgy határozhatjuk meg, hogy kiszámoljuk mindkét térrészben az energiasűrűséget ($w = \frac{1}{2}\vec{B}\cdot\vec{H}$), és azt megszorozzuk térrész térfogatával. A légrésben tárolt energia: |
$$E_{leg} = \frac{1}{2} \frac{N^2I^2\mu_0} {\left( \frac{2\pi r-b}{\mu_r}+b\right)^2} \cdot V_{leg} =\frac{1}{2} \frac{N^2I^2\mu_0} {\left(\frac{2\pi r-b}{\mu_r}+b\right)^2}\cdot Ab $$ | $$E_{leg} = \frac{1}{2} \frac{N^2I^2\mu_0} {\left( \frac{2\pi r-b}{\mu_r}+b\right)^2} \cdot V_{leg} =\frac{1}{2} \frac{N^2I^2\mu_0} {\left(\frac{2\pi r-b}{\mu_r}+b\right)^2}\cdot Ab $$ | ||
41. sor: | 44. sor: | ||
Ebből a légrésben és a vasmagban tárolt enerigia aránya: | Ebből a légrésben és a vasmagban tárolt enerigia aránya: | ||
− | $$\frac{E_{leg}}{E_{vas}} = \frac{b}{ | + | $$\frac{E_{leg}}{E_{vas}} = \frac{\mu_r b}{\left(2\pi r-b\right)}$$ |
Mivel a tekercsre igaz hogy: | Mivel a tekercsre igaz hogy: | ||
49. sor: | 52. sor: | ||
Ezért az energiából a következőképpen számolhatjuk ki az öninduktivitást: | Ezért az energiából a következőképpen számolhatjuk ki az öninduktivitást: | ||
− | $$L = \frac{2 \left( E_{vas}+E_{leg} \right)} {I^2}$$ | + | $$L = \frac{2 \left( E_{vas}+E_{leg} \right)} {I^2} = \frac{N^2\mu_0\mu_r A}{2 \pi r+b\left(\mu_r-1\right)}$$ |
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap jelenlegi, 2014. április 24., 11:02-kori változata
Feladat
- Egy
középsugarú,
keresztmetszetű vasgyűrűre
menetet tekercselnek. A gyűrűn
széles légrést alakítanak ki. A használatos gerjesztő áramoknál a vas relatív permeabilitása
. Határozzuk meg a légrésben és a vasmagban tárolt energia arányát! Az energiából mekkora öninduktivitás számolható?
Megoldás
Írjuk fel az Ampére-féle gerjesztési törvényt egy sugarú, a toroid belsejében elhelyezkedő körre, melynek tengelye a toroid forgástengelyével egybe esik:
![\[\oint \vec{H}\vec{dl} = NI\]](/images/math/d/4/a/d4aeee9c0c10839acd185186b9ce06ee.png)
A mágneses tér az egyes közegekben állandó nagyságú, érintő irányú. Mivel az erővonalak a közeghatárokon merőlegesen haladnak át, a tér nagysága eltérő a két közegben.
![\[H_{vas}(2\pi r-b)+H_{res} b = N I\]](/images/math/2/8/c/28c743f352ab5f009fb71be484c477df.png)
A mágneses indukció nagysága viszont mindkét közegben egyforma, így:
![\[\frac{B}{\mu_0 \mu_r} (2\pi r-b) + \frac{B}{\mu_0} b = NI \]](/images/math/1/f/5/1f5cbd7a5b7ad7f2bb08efb6b3bd3e07.png)
Ebből a mágneses indukció nagyságát kifejezve:
![\[B = \frac{NI\mu_0} {\left(\frac{2\pi r-b}{\mu_r}+b \right)} \]](/images/math/0/7/3/07389fdeaa22a5ea620bdb4d8fc66469.png)
A mágneses térerősség nagysága a két közegben:
![\[H_{vas} = \frac{B}{\mu_0 \mu_r} = \frac{NI}{\mu_r \left(\frac{2\pi r-b}{\mu_r}+b\right)}\]](/images/math/9/9/4/994774b853e86a6105bea8603078a9eb.png)
![\[H_{res} = \frac{B}{\mu_0} = \frac{NI}{ \left(\frac{2\pi r-b}{\mu_r}+b\right)}\]](/images/math/9/e/b/9eb63864a5c921a232c157f13e9acff6.png)
A vasmagban és a légrésben tárolt energiát úgy határozhatjuk meg, hogy kiszámoljuk mindkét térrészben az energiasűrűséget (), és azt megszorozzuk térrész térfogatával. A légrésben tárolt energia:
![\[E_{leg} = \frac{1}{2} \frac{N^2I^2\mu_0} {\left( \frac{2\pi r-b}{\mu_r}+b\right)^2} \cdot V_{leg} =\frac{1}{2} \frac{N^2I^2\mu_0} {\left(\frac{2\pi r-b}{\mu_r}+b\right)^2}\cdot Ab \]](/images/math/a/1/5/a157e706fa20c7a869e64cd6bea26ff0.png)
A vasmagban pedig:
![\[E_{vas} = \frac{1}{2} \frac{N^2I^2\mu_0 } {\mu_r \left( \frac{2\pi r-b}{\mu_r}+b\right)^2} \cdot V_{vas} =\frac{1}{2} \frac{N^2I^2\mu_0 } {\mu_r \left(\frac{2\pi r-b}{\mu_r}+b\right)^2}\cdot A(2\pi r-b) \]](/images/math/6/3/c/63c9cf84c4228188ed41f20fe973224a.png)
Ebből a légrésben és a vasmagban tárolt enerigia aránya:
![\[\frac{E_{leg}}{E_{vas}} = \frac{\mu_r b}{\left(2\pi r-b\right)}\]](/images/math/d/3/7/d37c39ad80f80ddcae126c5cc7eb8405.png)
Mivel a tekercsre igaz hogy:
![\[E = \frac{1}{2}LI^2\]](/images/math/e/f/5/ef51d84cb5742335df373d6d739981ab.png)
Ezért az energiából a következőképpen számolhatjuk ki az öninduktivitást:
![\[L = \frac{2 \left( E_{vas}+E_{leg} \right)} {I^2} = \frac{N^2\mu_0\mu_r A}{2 \pi r+b\left(\mu_r-1\right)}\]](/images/math/5/3/2/5320336070f9832b04af0564a13a13d3.png)