„Magnetosztatika példák - Hurok és egyenes alakú áramvezető közötti mágneses erőhatás” változatai közötti eltérés
(→Megoldás) |
(→Megoldás) |
||
(egy szerkesztő egy közbeeső változata nincs mutatva) | |||
8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
− | </noinclude><wlatex>#Egy hurok alakú vezeték két végtelen hosszúnak tekintett $x$ tengellyel párhuzamos egyenes szakaszból és egy $R$ sugarú félkörből áll. A vezetékben $I_1$ erősségű áram folyik. Egy másik egyenes vezető az első egyenes szakaszaival egy síkban, az $y$ tengellyel párhuzamosan, a félkör középpontjától $2R$ távolságra helyezkedik el. Ebben a második vezetőben $I_2$ áramerősségű áram folyik. Mekkora erőt fejt ki az $ | + | </noinclude><wlatex>#Egy hurok alakú vezeték két végtelen hosszúnak tekintett $x$ tengellyel párhuzamos egyenes szakaszból és egy $R$ sugarú félkörből áll. A vezetékben $I_1$ erősségű áram folyik. Egy másik egyenes vezető az első egyenes szakaszaival egy síkban, az $y$ tengellyel párhuzamosan, a félkör középpontjától $2R$ távolságra helyezkedik el. Ebben a második vezetőben $I_2$ áramerősségű áram folyik. Mekkora erőt fejt ki az $I_1$ árammal átjárt egyenes vezető a hurok alakúra?</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$F_x=\int dF_x= \dfrac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi } \int_{-\pi}^{\pi}\dfrac{\cos(\varphi)}{(2-\cos(\varphi))} d\varphi$$}} |
</wlatex></includeonly><noinclude> | </wlatex></includeonly><noinclude> | ||
+ | |||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex> | <wlatex> | ||
Az [[Magnetosztatika példák - Egyenes vezető mágneses tere 2|Egyenes vezető mágneses tere 2]] feladata alapján tudjuk, hogy a végtelen hosszú, $I_2$ árammal átjárt egyenes vezető mágneses tere: | Az [[Magnetosztatika példák - Egyenes vezető mágneses tere 2|Egyenes vezető mágneses tere 2]] feladata alapján tudjuk, hogy a végtelen hosszú, $I_2$ árammal átjárt egyenes vezető mágneses tere: | ||
− | $$B(r)=\dfrac{\mu_0 | + | $$B(r)=\dfrac{\mu_0 I_1}{2 \pi r}$$ |
Ebben az inhomogén mágneses térben van elhelyezve az $I_1$ árammal átjárt hurok, melyre ható erőt a hurok elemi $dl$ vezetékdarabjaira ható | Ebben az inhomogén mágneses térben van elhelyezve az $I_1$ árammal átjárt hurok, melyre ható erőt a hurok elemi $dl$ vezetékdarabjaira ható |
A lap jelenlegi, 2021. április 13., 16:23-kori változata
Feladat
- Egy hurok alakú vezeték két végtelen hosszúnak tekintett
tengellyel párhuzamos egyenes szakaszból és egy
sugarú félkörből áll. A vezetékben
erősségű áram folyik. Egy másik egyenes vezető az első egyenes szakaszaival egy síkban, az
tengellyel párhuzamosan, a félkör középpontjától
távolságra helyezkedik el. Ebben a második vezetőben
áramerősségű áram folyik. Mekkora erőt fejt ki az
árammal átjárt egyenes vezető a hurok alakúra?
Megoldás
Az Egyenes vezető mágneses tere 2 feladata alapján tudjuk, hogy a végtelen hosszú, árammal átjárt egyenes vezető mágneses tere:
![\[B(r)=\dfrac{\mu_0 I_1}{2 \pi r}\]](/images/math/3/a/5/3a549172d0d1f0a8dff9e90afc0abad0.png)
Ebben az inhomogén mágneses térben van elhelyezve az árammal átjárt hurok, melyre ható erőt a hurok elemi
vezetékdarabjaira ható
![\[\vec{dF}=I_1(\vec{dl}\times \vec{B(r)})\]](/images/math/3/0/5/305150a394c1bdd4c746f99cbea0c0ea.png)
Lorentz erők összegzésével határozhatunk meg.
Az ábra segítségével és a Lorentz erő összefüggése alapján észrevehetjük, hogy a hurok alakú vezető egyenes szakaszaira ellentétes irányú, de azonos nagyságú Lorentz erő hat, hiszen ugyanazon mágneses térben van elhelyezve két egyforma félegyenes, melyekben ellentétes irányú áram folyik. A hurokra ható eredő erő tehát megegyezik a félkörre ható Lorentz erővel. A félkör alakú vezetékdarabot parametrizáljuk a kör középponti szögével, mely megadja, hogy a félkör adott pontjához húzott sugár mekkora szöget zár be az
tengellyel. Ez alapján egy
szög alatt látszódó infinitezimális
ívelem hossza:
![\[dl=Rd\varphi\]](/images/math/3/1/a/31a804f711a1b070a6143e68d4d7c0e5.png)
Továbbá az adott pont árammal átjárt vezetőtől mért távolsága:
![\[r=2R-R\cos(\varphi)=R(2-\cos(\varphi))\]](/images/math/f/2/b/f2b6ac2b93047f5990f037842f7e38f8.png)
A elemi ívdarabra ható Lorentz erő nagysága:
![\[dF=I_1 B(r)dl=I_1 B(r)Rd\varphi\]](/images/math/6/9/c/69c66109c63c48053480465e833a274c.png)
Iránya pedig minden pontban sugár irányú. Mivel a hurok szimmetrikus az tengelyre, feltételezhetjük, hogy az elemi Lorentz erők
komponensei kioltják egymást, míg az
komponensei konstruktívan összegződnek. Adott elemi Lorentz erő
itányú komponense felírható a következőképp:
![\[dF_x=dF\cos(\varphi)=I_1 B(r) R\cos(\varphi) d\varphi\]](/images/math/d/c/2/dc22352a61b20ab1015cfe21b710ae73.png)
Behelyettesítve az összefüggésbe a mágneses tér helyfüggését:
![\[dF_x=I_1 \dfrac{\mu_0 I_2}{2 \pi r}R\cos(\varphi) d\varphi\]](/images/math/5/0/d/50d20c66321dbeea702d3f1d7b2da17c.png)
Majd az elemi ívdarab egyenes vezetőtől mért távolságának
függvényét figyelembe véve:
![\[dF_x=I_1 \dfrac{\mu_0 I_2}{2 \pi R(2-\cos(\varphi))}R\cos(\varphi) d\varphi\]](/images/math/e/c/b/ecbcc2fdc36442d8cacac8bae5480d7e.png)
A teljes félkörre ható irányú erőt megkaphatjuk, ha az elemi
erőket felösszegezzük a
félkörív mentén:
![\[F_x=\int dF_x= \dfrac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi } \int_{-\pi}^{\pi}\dfrac{\cos(\varphi)}{(2-\cos(\varphi))} d\varphi\]](/images/math/6/f/e/6fe2e134499f687acc2f2ff2859376ca.png)
Az integrál kiszámítását helyettesítéses módszerrel tudjuk elvégezni megfelelő átalakítások után, ugyanakkor a helyettesítés nem triviális és az integrálás elvégzése időigényes, ezért ezt itt nem prezentáljuk.