„Termodinamika példák - Keveredési entrópia, Gibbs-paradoxon” változatai közötti eltérés
(→Feladat) |
|||
16. sor: | 16. sor: | ||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
− | <wlatex> | + | <wlatex>'''a)'''A két edény paramétereit alsó indexek számokkal ($i=1,2$), a gázokat betűkkel ($j=A,B$) különböztetjük meg. Kezdetben az állapotegyenlet: |
+ | $$ p V_1= N_1kT $$ | ||
+ | $$ p V_2= N_2kT $$ | ||
+ | A fal elvétele után a Dalton-törvényt felhasználva a kialakuló parciális nyomások: | ||
+ | $$ p_A=\frac{N_1kT}{V_1+ V_2}$$ | ||
+ | $$ p_B=\frac{N_2kT}{V_1+ V_2}$$ | ||
+ | és a $p*$ össznyomás | ||
+ | $ p* = p_1+p_2 = \frac{N_1kT+ N_2kT}{V_1+ V_2} = p $$ | ||
+ | |||
+ | '''b)''' Az I. főtételt kiintegrálva korábban kaptuk, hogy: | ||
+ | $$ \Delta S_j = n_j C_{Vj} \ln \frac{V_{j\text{veg}}}{V_{j\text{kezd}} +n_j R \ln \frac{V_{j\text{veg}}}{V_{j\text{kezd}} $$ | ||
+ | |||
+ | Ezzel a két gáz entrópia-változásának összege: | ||
+ | |||
+ | $$\Delta S=R\left( n_1\ln \frac{V_1+ V_2}{V_1}+ n_2\ln \frac{V_1+ V_2}{V_2}\right)$$ | ||
+ | |||
+ | $$ V_1=\frac{n_1RT} p $$ | ||
+ | |||
+ | $$ V_2=\frac{n_2RT} p$$ \Delta S=R\left( n_1\ln \frac{n_1+ n_2}{n_1}+ n_2\ln \frac{n_1+ n_2}{n_2}\right) $$ | ||
+ | |||
+ | c) | ||
+ | |||
+ | Ha azonos gáz van mindkét tartályban, akkor azt várnánk, hogy $\Delta S=0$, viszont az előbbi összeg mindkét tagja nagyobb nullánál. A Boltzmann-féle entrópiával számolva: | ||
+ | |||
+ | Az első tartályt ''p'', a másodikat ''q'' darab cellára osztjuk fel, amelyekben rendre ''N'_1, N'_2, …, N'_p, N'_{p+1</sub>, …, N'<sub>p+q''</sub> részecske van. Ezt a makroállapotot a fal elvétele előtt ''W<sub>1}''-féle mikroállapot valósíthatja meg. Az ''N_1+N_2'' darab részecskét – mivel azok azonos fajtájúak – a két edényben rendelkezésre álló ''N_1+N_2'' helyükre $\frac{\left( N_1+ N_2\right)!}{N_1! N_2!}$-féleképpen oszthatjuk szét. Majd ezeket az adott edényükben levő cellákban is szét kell osztanunk: | ||
+ | |||
+ | $$ W_1=\frac{\left( N_1+ N_2\right)!}{N_1! N_2!}\cdot \frac{N_1!}{\prod _{i=1}^pN{\,\mathrm '}_i!}\cdot \frac{N_2!}{\prod _{i=p+1}^{p+q}N{\,\mathrm '}_i!}=\frac{\left( N_1+ N_2\right)!}{\prod _{i=1}^{p+q}N{\,\mathrm '}_i!}$$ | ||
+ | |||
+ | A fal felnyitását követően is osszuk fel az egybenyitott edényeket az előbbi makroállapotnak megfelelően (''N'_1, …, N'_{p+q}''). Ekkor a ''W_2'' termodinamikai valószínűség: | ||
+ | |||
+ | $$ W_2=\frac{\left( N_1+ N_2\right)!}{\prod _{i=1}^{p+q}N{\,\mathrm '}_i!}$$ | ||
+ | |||
+ | Ezekkel a Boltzmann-féle entrópia: | ||
+ | |||
+ | $$\Delta S=k\ln \frac{W_2}{W_1}=0$$ | ||
+ | |||
+ | Ha kezdetben a két edényben különböző gázok volnának, akkor ''W_1''-ben az $\frac{\left( N_1+ N_2\right)!}{N_1! N_2!}$ tag eltűnne, hiszen csak egyféleképpen tudnánk szétosztani a részecskéket a tartályok között. Ekkor: | ||
+ | |||
+ | $$\Delta S=k\ln \frac{W_2}{W_1}=k\ln \frac{\left( N_1+ N_2\right)!}{N_1! N_2!}$$ | ||
+ | |||
+ | Az $\ln N!\approx N\ln N-N$ Stirling-formulát felhasználva a b)-beli összefüggést kapjuk vissza. | ||
+ | |||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap 2013. április 15., 11:59-kori változata
Navigáció Pt·1·2·3 |
---|
Kísérleti fizika 3. gyakorlat |
Gyakorlatok listája: |
Entrópia, II. főtétel |
Feladatok listája:
|
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Egymástól válaszfallal elzárt, és térfogatú két edényben azonos hőmérsékletű, azonos nyomású, és mólszámú, különböző fajtájú ideális gáz van. Ha a válaszfalat eltávolítjuk, akkor a két gáz összekeveredik.
- a) Indokoljuk meg, hogy a folyamatban miért nem változik a hőmérséklet és a nyomás!
- b) Határozzuk meg az entrópia-változást (az ún. keverési entrópiát), és fejezzük ki a gázok és mólszámaival!
- c) Számítsuk ki az entrópia-változást, ha a két edényben azonos gáz van!
Megoldás
a)A két edény paramétereit alsó indexek számokkal (), a gázokat betűkkel () különböztetjük meg. Kezdetben az állapotegyenlet:
A fal elvétele után a Dalton-törvényt felhasználva a kialakuló parciális nyomások:
és a össznyomás
$ p* = p_1+p_2 = \frac{N_1kT+ N_2kT}{V_1+ V_2} = pb) Az I. főtételt kiintegrálva korábban kaptuk, hogy:
\[ \Delta S_j = n_j C_{Vj} \ln \frac{V_{j\text{veg}}}{V_{j\text{kezd}} +n_j R \ln \frac{V_{j\text{veg}}}{V_{j\text{kezd}} \]
Ezzel a két gáz entrópia-változásának összege:
\Delta S=R\left( n_1\ln \frac{n_1+ n_2}{n_1}+ n_2\ln \frac{n_1+ n_2}{n_2}\right)c)
Ha azonos gáz van mindkét tartályban, akkor azt várnánk, hogy , viszont az előbbi összeg mindkét tagja nagyobb nullánál. A Boltzmann-féle entrópiával számolva:
Az első tartályt p, a másodikat q darab cellára osztjuk fel, amelyekben rendre N'_1, N'_2, …, N'_p, N'_{p+1</sub>, …, N'p+q részecske van. Ezt a makroállapotot a fal elvétele előtt W1}-féle mikroállapot valósíthatja meg. Az N_1+N_2 darab részecskét – mivel azok azonos fajtájúak – a két edényben rendelkezésre álló N_1+N_2 helyükre -féleképpen oszthatjuk szét. Majd ezeket az adott edényükben levő cellákban is szét kell osztanunk:
A fal felnyitását követően is osszuk fel az egybenyitott edényeket az előbbi makroállapotnak megfelelően (N'_1, …, N'_{p+q}). Ekkor a W_2 termodinamikai valószínűség:
Ezekkel a Boltzmann-féle entrópia:
Ha kezdetben a két edényben különböző gázok volnának, akkor W_1-ben az tag eltűnne, hiszen csak egyféleképpen tudnánk szétosztani a részecskéket a tartályok között. Ekkor:
Az Stirling-formulát felhasználva a b)-beli összefüggést kapjuk vissza.