„Termodinamika példák - Keveredési entrópia, Gibbs-paradoxon” változatai közötti eltérés
13. sor: | 13. sor: | ||
#* b) <wlatex>Határozzuk meg az entrópia-változást (az ún. keverési entrópiát), és fejezzük ki a gázok $n_1$ és $n_2$ mólszámaival! | #* b) <wlatex>Határozzuk meg az entrópia-változást (az ún. keverési entrópiát), és fejezzük ki a gázok $n_1$ és $n_2$ mólszámaival! | ||
</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Alkalmazzuk az [[Termodinamika példák - Ideális gáz entrópiája|Ideális gáz entrópiájáról szóló feladatban]] kapott entrópia-kifejezést, tegyük fel, hogy a teljes edényt kitöltő két gáz mindegyikének entrópiája úgy számítható, mintha a másik nem lenne jelen, és használjuk fel a Dalton-törvényt.}}{{Végeredmény|content=$$\Delta S = R n_1 \ln\frac{n_1+n_1}{n_1} + R n_2 \ln\frac{n_1+n_2}{n_2}$$}}</wlatex></includeonly> | </wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Alkalmazzuk az [[Termodinamika példák - Ideális gáz entrópiája|Ideális gáz entrópiájáról szóló feladatban]] kapott entrópia-kifejezést, tegyük fel, hogy a teljes edényt kitöltő két gáz mindegyikének entrópiája úgy számítható, mintha a másik nem lenne jelen, és használjuk fel a Dalton-törvényt.}}{{Végeredmény|content=$$\Delta S = R n_1 \ln\frac{n_1+n_1}{n_1} + R n_2 \ln\frac{n_1+n_2}{n_2}$$}}</wlatex></includeonly> | ||
− | #* c) <wlatex>Számítsuk ki az entrópia-változást, ha a két edényben azonos gáz van!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=A levezetésnél vegyük figyelembe, hogy a keverés utáni állapotban az egész edényben ''ugyanaz'' a gáz van. A különböző gázokra levezetett fenti összefüggésből nem kapunk helyes eredményt; ez a Gibbs-féle paradoxon.}}</wlatex><wlatex>{{Végeredmény|content=$$\Delta S=0$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> | + | #* c) <wlatex>Számítsuk ki az entrópia-változást, ha a két edényben ''azonos fajtájú'' gáz van!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=A levezetésnél vegyük figyelembe, hogy a keverés utáni állapotban az egész edényben ''ugyanaz'' a gáz van. A különböző gázokra levezetett fenti összefüggésből nem kapunk helyes eredményt; ez a Gibbs-féle paradoxon.}}</wlatex><wlatex>{{Végeredmény|content=$$\Delta S=0$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> |
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
− | <wlatex>'''a)'''A két edény paramétereit alsó indexek számokkal ($i=1,2$), a gázokat betűkkel ($j=A,B$) különböztetjük meg. Kezdetben az | + | <wlatex>'''a)'''A két edény paramétereit alsó indexek számokkal ($i=1,2$), a gázokat betűkkel ($j=A,B$) különböztetjük meg. Kezdetben az állapotegyenletek: |
− | $$ p V_1= | + | $$ p V_1= N_A kT, \qquad p V_2= N_B kT. $$ |
− | + | ||
A fal elvétele után a Dalton-törvényt felhasználva a kialakuló parciális nyomások: | A fal elvétele után a Dalton-törvényt felhasználva a kialakuló parciális nyomások: | ||
− | $$ p_A=\frac{ | + | $$ p_A=\frac{N_A kT} {V_1+ V_2}, \qquad p_B=\frac{N_B kT} {V_1+ V_2}$$ |
− | + | és a $p^*$ össznyomás | |
− | és a $p*$ össznyomás | + | $$ p^* = p_1+p_2 = \frac{N_A kT + N_B kT}{V_1+ V_2} = \frac{p V_1 + p V_2}{V_1+ V_2} = p. $$ |
− | $ p* = p_1+p_2 = \frac{ | + | |
− | '''b)''' Az I. főtételt kiintegrálva | + | '''b)''' Az I. főtételt kiintegrálva [[Termodinamika példák - Az entrópia hőmérséklet- és térfogatfüggése, az adiabata egyenlete|korábban megkaptuk]] az entrópia hőmérséklet- és térfogatfüggését: |
− | $$ \Delta S_j = n_j C_{Vj} \ln \frac{ | + | $$ \Delta S_j = n_j C_{Vj} \ln\frac{T_{j\text{vég}}}{T_{j\text{kezd}}} +n_j R \ln\frac{V_{j\text{vég}}}{V_{j\text{kezd}}}, $$ |
+ | most $V_{A\text{kezd}}=V_1$, $V_{B\text{kezd}}=V_2$ és $V_{A\text{vég}}=V_{B\text{vég}}=V_1+V_2$. | ||
− | + | Most a hőmérséklet végig állandó (az ''a)'' részben azt láttuk be, hogy a kezdeti- és a végállapotban ugyanaz, a feladat megoldásához ez is elég). Ezekkel a két gáz entrópia-változásának összege: | |
+ | $$ \Delta S = k\left(N_A \ln\frac{V_1+V_2}{V_1}+ N_B\ln \frac{V_1+V_2}{V_2}\right) $$ | ||
− | $$\Delta S=R\left( n_1\ln \frac{ | + | $$ V_1=\frac{n_A RT} p, \qquad V_2=\frac{n_B RT} p$$ |
+ | $$ \Delta S = R \left( n_A \ln\frac{n_A+n_B}{n_1}+ n_B \ln\frac{n_A+n_B}{n_B}\right)>0, $$ | ||
+ | ami a feladatban adott $n_A\equiv n_1$ és $n_B\equiv n_2$ értékekkel | ||
+ | $$ \Delta S = R \left( n_1 \ln\frac{n_1+n_2}{n_1}+ n_2 \ln\frac{n_1+n_2}{n_2}\right)>0. $$ | ||
− | + | '''c)''' Ha a két edényben azonos gáz van, akkor bármelyik pillanatban munkavégzés nélkül visszatehetjük a válaszfalat és ugyanúgy az ''egyensúlyi'' kezdeti makroállapotot kapjuk eredményként, az entrópia nem változhatott meg noha a ''b)'' pontban kapott eredmény ezt sugallja, ez a Gibbs-paradoxon. | |
− | + | ... számítás ... | |
− | + | == Megjegyzés: a Gibbs-paradoxon == | |
− | + | Az eltérés a klasszikus részecskeképben és az entrópia definíciójában keresendő: a végállapot entrópiájának számításakor feltettük, hogy meg tudjuk különböztetni, kezdetben melyik részecske melyik tartályban volt, ami különböző anyagi minőség esetén lehetséges is. A kvantummechanika eredményei szerint viszont az azonos anyagi minőségű részecskék ''megkülönböztethetetlenek'', azaz miután egyetlen közös térbe engedtük őket, elméletben sincs olyan mérés, ami egyszerre megmondja a kezdőfeltételeket (a részecskék pontos sebességét ''és'' pontos helyét), sem olyan, amelyik megmondja, melyik részecske eredetileg melyik tartályban volt. | |
− | + | Ezért az entrópiadefiníciót ki kell egészítenünk a megkülönböztethetetlenséggel, azaz azonos anyagi minőségű részecskék permutációja nem vezet új makroállapothoz: | |
+ | $$ S^* = k \ln\frac{W}{N!} $$ | ||
− | |||
− | + | === Megjegyzés 2 === | |
− | $$ W_2=\frac{\left( N_1+ N_2\right)!}{\prod _{i=1}^{p+q}N{\,\mathrm '}_i!}$$ | + | Találkozhatunk olyan levezetéssel, ami a tartályokat további képzeletbeli egységekre bontja, és a ''azonos fajtájú'' gázra számszerűen helyes eredményt ad. Ezt a levezetést alább közöljük, de kevésbé ajánljuk, mert nem tisztázza a megkülönböztethetetlenség kérdését, ugyanakkor a formalizmust feleslegesen bonyolítja. |
+ | |||
+ | <small>Legyen azonos fajtájú gáz van mindkét tartályban, a Boltzmann-féle entrópiával számolunk. | ||
+ | Az első tartályt $p$, a másodikat $q$ darab cellára osztjuk fel, amelyekben rendre $N'_1, N'_2, \ldots, N'_p, N'_{p+1}, \ldots, N'_{p+q}$ részecske van. Ezt a makroállapotot a fal elvétele előtt $W_1$-féle mikroállapot valósíthatja meg. Az $N_1+N_2$ darab részecskét – mivel azok azonos fajtájúak – a két edényben rendelkezésre álló $N_1+N_2$ helyükre $\frac{\left( N_1+ N_2\right)!}{N_1! N_2!}$-féleképpen oszthatjuk szét. Majd ezeket az adott edényükben levő cellákban is szét kell osztanunk: | ||
+ | |||
+ | $$ W_1=\frac{\left( N_1+ N_2\right)!}{N_1! N_2!}\cdot \frac{N_1!}{\prod _{i=1}^pN{\,\mathrm '}_i!}\cdot \frac{N_2!}{\prod _{i=p+1}^{p+q}N{\,\mathrm '}_i!}=\frac{\left( N_1+ N_2\right)!}{\prod _{i=1}^{p+q}N{\,\mathrm '}_i!}.$$ | ||
+ | |||
+ | A fal felnyitását követően is osszuk fel az egybenyitott edényeket az előbbi makroállapotnak megfelelően ($N'_1, \ldots, N'_{p+q}$). Ekkor a $W_2$ termodinamikai valószínűség: | ||
+ | |||
+ | $$ W_2=\frac{\left( N_1+ N_2\right)!}{\prod _{i=1}^{p+q}N{\,\mathrm '}_i!}.$$ | ||
Ezekkel a Boltzmann-féle entrópia: | Ezekkel a Boltzmann-féle entrópia: | ||
− | $$\Delta S=k\ln \frac{W_2}{W_1}=0$$ | + | $$\Delta S=k\ln \frac{W_2}{W_1}=0.$$ |
− | Ha kezdetben a két edényben különböző gázok volnának, akkor | + | Ha kezdetben a két edényben különböző gázok volnának, akkor $W_1$'-ben az $\frac{\left( N_1+ N_2\right)!}{N_1! N_2!}$ tényező eltűnne, hiszen csak egyféleképpen tudnánk szétosztani a részecskéket a tartályok között. Ekkor: |
− | $$\Delta S=k\ln \frac{W_2}{W_1}=k\ln \frac{\left( N_1+ N_2\right)!}{N_1! N_2!}$$ | + | $$\Delta S=k\ln \frac{W_2}{W_1}=k\ln \frac{\left( N_1+ N_2\right)!}{N_1! N_2!}.$$</small> |
− | + | Vegyük észre, hogy a fal felnyitása előtt és után ugyanannyi részecske volt az egyes képzeletbeli cellákban, ez csak egyensúlyban, makroszkopikusan nagy cellákra igaz. Vegyük még észre, hogy élhetünk a $p=q=1$ választással, ekkor azonos fajtájú gázra $W_1$ és $W_2$ már az egyszerűsítés előtt ugyanazt az alakot ölti, ami a gázrészecskék egymás közötti teljes felcserélhetőségére utal, ami a kezdőállapotban kvantummechanikailag nem is igaz; különböző fajtájú gázokra $W_1=1$ és $W_2=\frac{\left(N_1+ N_2\right)!}{N_1! N_2!}$, amit könnyebben magyarázhatunk a megkülönböztethetőséggel. | |
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap 2013. április 15., 21:20-kori változata
Navigáció Pt·1·2·3 |
---|
Kísérleti fizika 3. gyakorlat |
Gyakorlatok listája: |
Entrópia, II. főtétel |
Feladatok listája:
|
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Egymástól válaszfallal elzárt, és térfogatú két edényben azonos hőmérsékletű, azonos nyomású, és mólszámú, különböző fajtájú ideális gáz van. Ha a válaszfalat eltávolítjuk, akkor a két gáz összekeveredik.
- a) Indokoljuk meg, hogy a folyamatban miért nem változik a hőmérséklet és a nyomás!
- b) Határozzuk meg az entrópia-változást (az ún. keverési entrópiát), és fejezzük ki a gázok és mólszámaival!
- c) Számítsuk ki az entrópia-változást, ha a két edényben azonos fajtájú gáz van!
Megoldás
a)A két edény paramétereit alsó indexek számokkal (), a gázokat betűkkel () különböztetjük meg. Kezdetben az állapotegyenletek:
A fal elvétele után a Dalton-törvényt felhasználva a kialakuló parciális nyomások:
és a össznyomás
b) Az I. főtételt kiintegrálva korábban megkaptuk az entrópia hőmérséklet- és térfogatfüggését:
most , és .
Most a hőmérséklet végig állandó (az a) részben azt láttuk be, hogy a kezdeti- és a végállapotban ugyanaz, a feladat megoldásához ez is elég). Ezekkel a két gáz entrópia-változásának összege:
ami a feladatban adott és értékekkel
c) Ha a két edényben azonos gáz van, akkor bármelyik pillanatban munkavégzés nélkül visszatehetjük a válaszfalat és ugyanúgy az egyensúlyi kezdeti makroállapotot kapjuk eredményként, az entrópia nem változhatott meg noha a b) pontban kapott eredmény ezt sugallja, ez a Gibbs-paradoxon.
... számítás ...
Megjegyzés: a Gibbs-paradoxon
Az eltérés a klasszikus részecskeképben és az entrópia definíciójában keresendő: a végállapot entrópiájának számításakor feltettük, hogy meg tudjuk különböztetni, kezdetben melyik részecske melyik tartályban volt, ami különböző anyagi minőség esetén lehetséges is. A kvantummechanika eredményei szerint viszont az azonos anyagi minőségű részecskék megkülönböztethetetlenek, azaz miután egyetlen közös térbe engedtük őket, elméletben sincs olyan mérés, ami egyszerre megmondja a kezdőfeltételeket (a részecskék pontos sebességét és pontos helyét), sem olyan, amelyik megmondja, melyik részecske eredetileg melyik tartályban volt.
Ezért az entrópiadefiníciót ki kell egészítenünk a megkülönböztethetetlenséggel, azaz azonos anyagi minőségű részecskék permutációja nem vezet új makroállapothoz:
Megjegyzés 2
Találkozhatunk olyan levezetéssel, ami a tartályokat további képzeletbeli egységekre bontja, és a azonos fajtájú gázra számszerűen helyes eredményt ad. Ezt a levezetést alább közöljük, de kevésbé ajánljuk, mert nem tisztázza a megkülönböztethetetlenség kérdését, ugyanakkor a formalizmust feleslegesen bonyolítja.
Legyen azonos fajtájú gáz van mindkét tartályban, a Boltzmann-féle entrópiával számolunk. Az első tartályt , a másodikat darab cellára osztjuk fel, amelyekben rendre részecske van. Ezt a makroállapotot a fal elvétele előtt -féle mikroállapot valósíthatja meg. Az darab részecskét – mivel azok azonos fajtájúak – a két edényben rendelkezésre álló helyükre -féleképpen oszthatjuk szét. Majd ezeket az adott edényükben levő cellákban is szét kell osztanunk:
A fal felnyitását követően is osszuk fel az egybenyitott edényeket az előbbi makroállapotnak megfelelően (). Ekkor a termodinamikai valószínűség:
Ezekkel a Boltzmann-féle entrópia:
Ha kezdetben a két edényben különböző gázok volnának, akkor '-ben az tényező eltűnne, hiszen csak egyféleképpen tudnánk szétosztani a részecskéket a tartályok között. Ekkor:
Vegyük észre, hogy a fal felnyitása előtt és után ugyanannyi részecske volt az egyes képzeletbeli cellákban, ez csak egyensúlyban, makroszkopikusan nagy cellákra igaz. Vegyük még észre, hogy élhetünk a választással, ekkor azonos fajtájú gázra és már az egyszerűsítés előtt ugyanazt az alakot ölti, ami a gázrészecskék egymás közötti teljes felcserélhetőségére utal, ami a kezdőállapotban kvantummechanikailag nem is igaz; különböző fajtájú gázokra és , amit könnyebben magyarázhatunk a megkülönböztethetőséggel.