„Termodinamika példák - Entrópiaváltozás hőcserében” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
 
a (Szöveg koherenssé tétele)
 
(egy szerkesztő egy közbeeső változata nincs mutatva)
9. sor: 9. sor:
 
}}
 
}}
 
== Feladat ==
 
== Feladat ==
−
</noinclude><wlatex># $1 \,\mathrm{kg}$ tömegű, $273\,\mathrm{K}$ hőmérsékletű vizet termikus kapcsolatba hozunk egy $373\,\mathrm{K}$ hőmérsékletű hőtartállyal.</wlatex>
+
</noinclude><wlatex># $m=1 \,\mathrm{kg}$ tömegű, $T_0=273\,\mathrm{K}$ hőmérsékletű vizet termikus kapcsolatba hozunk egy $T_H=373\,\mathrm{K}$ hőmérsékletű hőtartállyal.</wlatex>
−
#* a) <wlatex>Mekkora a víz entrópia-változása, miután a hőmérséklete elérte a hőtartály hőmérsékletét?</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$1304\,\mathrm{\frac{J}{K}}$$}}</wlatex></includeonly>
+
#* a) <wlatex>Mekkora a víz entrópia-változása, miután a hőmérséklete elérte a hőtartály hőmérsékletét?</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$1306\,\mathrm{\frac{J}{K}}$$}}</wlatex></includeonly>
−
#* b) <wlatex>Mekkora eközben a hőtartály entrópia-változása?</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$-1120\,\mathrm{\frac{J}{K}}$$}}</wlatex></includeonly>
+
#* b) <wlatex>Mekkora eközben a hőtartály entrópia-változása?</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$-1121\,\mathrm{\frac{J}{K}}$$}}</wlatex></includeonly>
−
#* c) <wlatex>Mekkora a teljes rendszerben (hőtartály és víz) létrejött entrópia-változás?</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$184\,\mathrm{\frac{J}{K}}$$}}</wlatex></includeonly>
+
#* c) <wlatex>Mekkora a teljes rendszerben (hőtartály és víz) létrejött entrópia-változás?</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$185\,\mathrm{\frac{J}{K}}$$}}</wlatex></includeonly>
−
#* d) <wlatex>Mennyi a teljes rendszerben létrejött entrópia-változás, ha a testet először egy 323 K hőmérsékletű hőtartállyal, majd az egyensúly beállta után a 373 K hőmérsékletű hőtartállyal hozzuk kapcsolatba?</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$90\,\mathrm{\frac{J}{K}}$$}}</wlatex></includeonly>
+
#* d) <wlatex>Mennyi a teljes rendszerben létrejött entrópia-változás, ha a testet először egy $T_i=323\,\mathrm{K}$ hőmérsékletű hőtartállyal, majd az egyensúly beállta után a $T_H=373\,\mathrm{K}$ hőmérsékletű hőtartállyal hozzuk kapcsolatba?</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$98\,\mathrm{\frac{J}{K}}$$}}</wlatex></includeonly>
 
#* e) <wlatex>Lehet-e úgy melegíteni a vizet, hogy a teljes rendszer entrópia-változása kisebb legyen egy előírt értéknél (vagyis a folyamat előírt mértékben megközelítse a reverzíbilis folyamatot)?</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=Igen.}}</wlatex></includeonly><noinclude>
 
#* e) <wlatex>Lehet-e úgy melegíteni a vizet, hogy a teljes rendszer entrópia-változása kisebb legyen egy előírt értéknél (vagyis a folyamat előírt mértékben megközelítse a reverzíbilis folyamatot)?</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=Igen.}}</wlatex></includeonly><noinclude>
  
 
== Megoldás ==
 
== Megoldás ==
−
<wlatex>Megoldás szövege
+
<wlatex>'''a)''' A víz a közölt $\delta Q=cm\,\mathrm{d}T$ hőt az aktuális $T$ hőmérsékletén veszi fel:
 +
$$ \Delta S_\text{víz} = \int_{T_0}^{T_H} \frac{\delta Q}{T}
 +
    = cm\ln \frac{T_H}{T_0}
 +
    = 1306\,\mathrm{\frac{J}{K}}. $$
 +
 
 +
'''b)''' A hőtartály hőmérséklete állandóan $T_H$, az általa leadott összes hőmennyiség nagysága megegyezik a víz által felvettel:
 +
$$ \Delta S_\text{hőtartály} = \frac{\Delta Q}{T_H}
 +
    = \frac{-cm(T_H-T_0)}{T_H}
 +
    = cm\left(\frac{T_0}{T_H}-1\right)
 +
    = -1121\,\mathrm{\frac{J}{K}}. $$
 +
 
 +
'''c)''' A teljes rendszer (vagy az univerzum) entrópiaváltozása a folyamat következtében
 +
$$ \Delta S = \Delta S_\text{víz} + \Delta S_\text{hőtartály}
 +
    = cm\left(\left(\frac{T_0}{T_H}-1\right)-\ln \frac{T_0}{T_H}\right)
 +
    = 185\,\mathrm{\frac{J}{K}} \ge 0$$
 +
 
 +
'''d)''' Ha beiktatunk egy közbülső, $T_i$ hőmérsékletű hőtartályt, a víz entrópiaváltozása ugyanaz marad:
 +
$$ \Delta S_\text{víz}=\int_{T_0}^{T_i} \frac{\delta Q}{T}+\int_{T_i}^{T_H} \frac{\delta Q}{T}=\int_{T_0}^{T_H} \frac{\delta Q}{T}=cm\ln \frac{T_H}{T_0}, $$
 +
a hőtartályok viszont összességében is kisebb entrópianövekedést szenvednek el:
 +
$$ \Delta S_\text{hőtartályok} = \frac{\Delta Q}{T_H}
 +
    = \frac{-cm(T_i-T_0)}{T_i} + \frac{-cm(T_H-T_i)}{T_H}
 +
    = cm\left(\frac{T_0}{T_i}+\frac{T_i}{T_H}-2\right)
 +
    = -1208\,\mathrm{\frac{J}{K}}. $$
 +
A teljes rendszer entrópiaváltozása
 +
$$ \Delta S = cm \left(\frac{T_0}{T_i}+\frac{T_i}{T_H}-2 - \ln \frac{T_0}{T_H}\right)
 +
    = 98\mathrm{\frac{J}{K}}, $$
 +
ami kisebb, mint ''c)''-ben.
 +
 
 +
==== Megjegyzés ====
 +
Behelyettesítés nélkül a
 +
$$ \Delta S = cm \left(\frac{T_0}{T_H}-1-\left[1+\frac{T_0}{T_H}-\frac{T_0}{T_i}-\frac{T_i}{T_H}\right]\right)$$
 +
átalakítással tetszőleges $T_0<T_i<T_H$ értékre látható, hogy a ''c)''-ben kapottnál kisebb érték adódott.
 +
A $\Delta S_\text{hőtartályok} (T_i) = cm \left(\frac{T_0}{T_i}+\frac{T_i}{T_H}-2\right)$ függvény szélsőértékvizsgálatával belátható, hogy a legkisebb entrópiaváltozáshoz vezető hőmérséklet $T_i=\sqrt{T_0 T_H}$, a hozzá tartozó entrópiaváltozás $\Delta S_\text{hőtartályok,min} = 2cm \left(\sqrt{\frac{T_0}{T_H}}-1\right)$.
 +
 
 +
'''e)''' Láttuk, hogy egy köztes hőtartály csökkenti az entrópia-növekedést. Használjunk $N\to\infty$ darab hőtartályt ekvidisztáns $\Delta T = \frac{T_H-T_0}{N}\to0$ hőmérsékletkülönbségekkel!
 +
 
 +
A víz entrópiaváltozása most is
 +
$$ \Delta S_\text{víz}=\int_{T_0}^{T_H} \frac{\delta Q}{T}=cm\ln \frac{T_H}{T_0} $$
 +
lesz, mivel a köztes hőmérsékletek kiesnek a képletből.
 +
 
 +
A hőtartályokra:
 +
$$ \Delta S_\text{hőtartályok} = \lim_{\substack{N\to\infty \\ \Delta T\to0}}
 +
  cm \left(\frac{\Delta T}{T_1}+\frac{\Delta T}{T_2}+\ldots+\frac{\Delta T}{T_N}\right)=$$
 +
$$ = -cm \lim_{\substack{N\to\infty \\ \Delta T\to0}} \sum _{i=1}^N\frac{\Delta T}{T_i}
 +
  = cm\int_{T_0}^{T_H}\frac{\mathrm{d}T}{T}=-cm\ln \frac{T_H}{T_0} $$
 +
 
 +
Tehát így $\Delta S = \Delta S_\text{víz} + \Delta S_\text{hőtartályok}=0$ tetszőlegesen megközelíthető.
 
</wlatex>
 
</wlatex>
 
</noinclude>
 
</noinclude>

A lap jelenlegi, 2013. május 14., 20:47-kori változata

Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika 3. gyakorlat
Gyakorlatok listája:
  1. Kinetikus gázelmélet, transzport
  2. Állapotváltozás, I. főtétel
  3. Fajhő, Körfolyamatok
  4. Entrópia, II. főtétel
  5. Homogén rendszerek
  6. Fázisátalakulások
  7. Kvantummechanikai bevezető
Entrópia, II. főtétel
Feladatok listája:
  1. Izoterm tágulás
  2. Izobár táguláskor
  3. S(T,V), adiabata
  4. Id. g. entrópiája
  5. Forralás
  6. Hőcsere
  7. Carnot-körfolyamat
  8. Keveredési entrópia
    Gibbs-paradoxon
  9. Kaloriméterben
  10. Entrópiaváltozások
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. \setbox0\hbox{$m=1 \,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tömegű, \setbox0\hbox{$T_0=273\,\mathrm{K}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hőmérsékletű vizet termikus kapcsolatba hozunk egy \setbox0\hbox{$T_H=373\,\mathrm{K}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hőmérsékletű hőtartállyal.
    • a) Mekkora a víz entrópia-változása, miután a hőmérséklete elérte a hőtartály hőmérsékletét?
    • b) Mekkora eközben a hőtartály entrópia-változása?
    • c) Mekkora a teljes rendszerben (hőtartály és víz) létrejött entrópia-változás?
    • d) Mennyi a teljes rendszerben létrejött entrópia-változás, ha a testet először egy \setbox0\hbox{$T_i=323\,\mathrm{K}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hőmérsékletű hőtartállyal, majd az egyensúly beállta után a \setbox0\hbox{$T_H=373\,\mathrm{K}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hőmérsékletű hőtartállyal hozzuk kapcsolatba?
    • e) Lehet-e úgy melegíteni a vizet, hogy a teljes rendszer entrópia-változása kisebb legyen egy előírt értéknél (vagyis a folyamat előírt mértékben megközelítse a reverzíbilis folyamatot)?

Megoldás

a) A víz a közölt \setbox0\hbox{$\delta Q=cm\,\mathrm{d}T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hőt az aktuális \setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hőmérsékletén veszi fel:

\[ \Delta S_\text{víz} = \int_{T_0}^{T_H} \frac{\delta Q}{T} = cm\ln \frac{T_H}{T_0} = 1306\,\mathrm{\frac{J}{K}}. \]

b) A hőtartály hőmérséklete állandóan \setbox0\hbox{$T_H$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, az általa leadott összes hőmennyiség nagysága megegyezik a víz által felvettel:

\[ \Delta S_\text{hőtartály} = \frac{\Delta Q}{T_H} = \frac{-cm(T_H-T_0)}{T_H} = cm\left(\frac{T_0}{T_H}-1\right) = -1121\,\mathrm{\frac{J}{K}}. \]

c) A teljes rendszer (vagy az univerzum) entrópiaváltozása a folyamat következtében

\[ \Delta S = \Delta S_\text{víz} + \Delta S_\text{hőtartály} = cm\left(\left(\frac{T_0}{T_H}-1\right)-\ln \frac{T_0}{T_H}\right) = 185\,\mathrm{\frac{J}{K}} \ge 0\]

d) Ha beiktatunk egy közbülső, \setbox0\hbox{$T_i$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hőmérsékletű hőtartályt, a víz entrópiaváltozása ugyanaz marad:

\[ \Delta S_\text{víz}=\int_{T_0}^{T_i} \frac{\delta Q}{T}+\int_{T_i}^{T_H} \frac{\delta Q}{T}=\int_{T_0}^{T_H} \frac{\delta Q}{T}=cm\ln \frac{T_H}{T_0}, \]

a hőtartályok viszont összességében is kisebb entrópianövekedést szenvednek el:

\[ \Delta S_\text{hőtartályok} = \frac{\Delta Q}{T_H} = \frac{-cm(T_i-T_0)}{T_i} + \frac{-cm(T_H-T_i)}{T_H} = cm\left(\frac{T_0}{T_i}+\frac{T_i}{T_H}-2\right) = -1208\,\mathrm{\frac{J}{K}}. \]

A teljes rendszer entrópiaváltozása

\[ \Delta S = cm \left(\frac{T_0}{T_i}+\frac{T_i}{T_H}-2 - \ln \frac{T_0}{T_H}\right) = 98\mathrm{\frac{J}{K}}, \]

ami kisebb, mint c)-ben.

Megjegyzés

Behelyettesítés nélkül a

\[ \Delta S = cm \left(\frac{T_0}{T_H}-1-\left[1+\frac{T_0}{T_H}-\frac{T_0}{T_i}-\frac{T_i}{T_H}\right]\right)\]

átalakítással tetszőleges \setbox0\hbox{$T_0<T_i<T_H$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% értékre látható, hogy a c)-ben kapottnál kisebb érték adódott. A \setbox0\hbox{$\Delta S_\text{hőtartályok} (T_i) = cm \left(\frac{T_0}{T_i}+\frac{T_i}{T_H}-2\right)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvény szélsőértékvizsgálatával belátható, hogy a legkisebb entrópiaváltozáshoz vezető hőmérséklet \setbox0\hbox{$T_i=\sqrt{T_0 T_H}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, a hozzá tartozó entrópiaváltozás \setbox0\hbox{$\Delta S_\text{hőtartályok,min} = 2cm \left(\sqrt{\frac{T_0}{T_H}}-1\right)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.

e) Láttuk, hogy egy köztes hőtartály csökkenti az entrópia-növekedést. Használjunk \setbox0\hbox{$N\to\infty$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% darab hőtartályt ekvidisztáns \setbox0\hbox{$\Delta T = \frac{T_H-T_0}{N}\to0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hőmérsékletkülönbségekkel!

A víz entrópiaváltozása most is

\[ \Delta S_\text{víz}=\int_{T_0}^{T_H} \frac{\delta Q}{T}=cm\ln \frac{T_H}{T_0} \]

lesz, mivel a köztes hőmérsékletek kiesnek a képletből.

A hőtartályokra:

\[ \Delta S_\text{hőtartályok} = \lim_{\substack{N\to\infty \\ \Delta T\to0}} cm \left(\frac{\Delta T}{T_1}+\frac{\Delta T}{T_2}+\ldots+\frac{\Delta T}{T_N}\right)=\]
\[ = -cm \lim_{\substack{N\to\infty \\ \Delta T\to0}} \sum _{i=1}^N\frac{\Delta T}{T_i} = cm\int_{T_0}^{T_H}\frac{\mathrm{d}T}{T}=-cm\ln \frac{T_H}{T_0} \]

Tehát így \setbox0\hbox{$\Delta S = \Delta S_\text{víz} + \Delta S_\text{hőtartályok}=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tetszőlegesen megközelíthető.

A lap eredeti címe: „https://fizipedia.bme.hu/index.php?title=Termodinamika_példák_-_Entrópiaváltozás_hőcserében&oldid=9905”