„Termodinamika példák - Variációk entrópiaváltozásra” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
a
(Jelölésbeli konvenciók.)
 
(egy szerkesztő 5 közbeeső változata nincs mutatva)
9. sor: 9. sor:
 
}}
 
}}
 
== Feladat ==
 
== Feladat ==
−
</noinclude><wlatex># Két test azonos $C=100\,\mathrm{J/K}$ hőkapacitású, de hőmérsékletük különböző: $T_1=273K$, $T_2=373K$.</wlatex>
+
</noinclude><wlatex># Két test azonos $C=100\,\mathrm{\frac{J}{K}}$ hőkapacitású, de hőmérsékletük különböző: $T_1=273\,\mathrm{K}$, $T_2=373\,\mathrm{K}$.</wlatex>
 
#* a) <wlatex>Mennyi lesz a közös hőmérsékletük, ha termikus kapcsolatba hozzuk őket úgy, hogy a környezet felé ne legyen hőátadás?</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$T_k=\frac{T_1+T_2}{2}$$}}</wlatex></includeonly>
 
#* a) <wlatex>Mennyi lesz a közös hőmérsékletük, ha termikus kapcsolatba hozzuk őket úgy, hogy a környezet felé ne legyen hőátadás?</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$T_k=\frac{T_1+T_2}{2}$$}}</wlatex></includeonly>
−
#* b) <wlatex>Mennyi lesz a közös hőmérséklet, ha a kiegyenlítődést egy reverzíbilisen működő hőerőgép végzi?</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$T_k=\sqrt{T_1T_2}$$}}</wlatex></includeonly>
+
#* b) <wlatex>Mennyi lesz a közös hőmérséklet, ha a kiegyenlítődést egy reverzíbilisen működő hőerőgép végzi?</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$T_k=\sqrt{T_1 T_2}$$}}</wlatex></includeonly>
−
#* c) <wlatex>Ha a kiegyenlítődés nem jár térfogatváltozással, mekkora lesz a két esetben a belső energia megváltozása és az entrópia-változás?</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$\Delta U_a=0, \qquad \Delta U_b=2C\sqrt{T_1T_2}-CT_1-CT_2,$$ $$\Delta S_a=2C\ln\frac{T_1+T_2}{2}-C\ln T_1-C\ln T_2, \qquad \Delta S_b=0.$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>
+
#* c) <wlatex>Ha a kiegyenlítődés nem jár térfogatváltozással, mekkora lesz a két esetben a belső energia megváltozása és az entrópia-változás?</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$\Delta U_a=0, \qquad \Delta U_b=2C\sqrt{T_1 T_2}-CT_1-CT_2=-778{,}7\,\mathrm{J},$$ $$\Delta S_a=2C\ln\frac{T_1+T_2}{2}-C\ln T_1-C\ln T_2=2{,}42\,\mathrm{\frac{J}{K}}, \qquad \Delta S_b=0.$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>
  
 
== Megoldás ==
 
== Megoldás ==
−
<wlatex>Megoldás szövege
+
<wlatex>'''a)''' A két különböző hőmérsékletű test közvetlen kapcsolatba hozása irreverzíbilis folyamat: a rendszerből nem nyerünk ki munkát, a kezdeti állapot pedig csak külső energiabevitellel érhető el újra (ld. a ''c)'' pontot is). Nincs térfogatváltozás, egyik test sem végez munkát ($\delta W_1 = \delta W_2 = 0$). A közös $T_{ka}$ hőmérsékletet abból kapjuk meg, hogy az elszigetelt rendszerben az egyik test által leadott hő megegyezik a másik által felvett hővel:
 +
$$ C(T_{ka}-T_1) = C(T_2-T_{ka}), $$
 +
innen
 +
$$ T_{ka} = \frac{C T_1 + C T_2}{2C} = \frac{T_1+T_2}{2}. $$
 +
 
 +
'''b)''' A Carnot-körfolyamat reverzíbilis: az ideális hőerőgép által termelt munkát a fordított irányban üzemeltetett gépbe visszatáplálva a kezdeti állapot újra elérhető. Reverzíbilis folyamatokra $\Delta S=0$.
 +
 
 +
Az entrópiaváltozás általános definíciója
 +
$$ \mathrm{d}S = \frac{\delta Q}{T}, $$
 +
amibe helyettesítsük be a közölt hő első főtételből kifejezett $ \delta Q = \mathrm{d}U+p\,\mathrm{d}V $ alakját, ahol $ \mathrm{d}U = C_V\,\mathrm{d}T $:
 +
$$ \mathrm{d}S = C_V \frac{\mathrm{d}T}{T} + \frac{p\,\mathrm{d}V}{T}. $$
 +
 
 +
Nincs térfogatváltozás, munkavégzés nem történik ($\delta W=p\,\mathrm{d}V=0$, azaz $\delta W_1 = \delta W_2 =0$), a $C$ hőkapacitás az állandó térfogaton mért $C_V$ hőkapacitás.
 +
Kiintegrálva a fenti egyenletet a kezdeti- és a végállapot között:
 +
$$ \Delta S_i = C_V \ln\frac{T_{i\text{vég}}}{T_{i\text{kezd}}}. $$
 +
 
 +
A teljes rendszerre
 +
$$ \Delta S = \Delta S_1 + \Delta S_2
 +
  = C\ln\frac{T_k}{T_1} + C\ln\frac{T_k}{T_2}=C\ln \frac{T_k^2}{T_1 T_2}, $$
 +
innen $\Delta S_b=0$ feltétellel
 +
$$ T_{kb} = \sqrt{T_1 T_2}. $$
 +
 
 +
'''c)''' '''Az ''a)'' pontban leírt irreverzíbilis esetben''' a teljes rendszert elszigeteltük, összes belső energiája megmarad
 +
$$ \Delta U_a = \Delta U_{1a} + \Delta U_{2a} = 0$$
 +
és
 +
$$ \Delta U_{1a} = -\Delta U_{2a}. $$
 +
 
 +
Mivel nincs térfogatváltozás, a teljes rendszer entrópiaváltozása
 +
$$ \Delta S_a = \Delta S_{1a} + \Delta S_{2a}
 +
    = 2C \ln\frac{T_{ka}}{\sqrt{T_1 T_2}}
 +
    = 2C \ln \frac{\frac{T_1+ T_2} 2}{\sqrt{T_1 T_2}} \geq 0, $$
 +
most $\Delta S_a \approx 2{,}42\,\mathrm{\frac{J}{K}}$.
 +
 
 +
 
 +
'''A ''b)'' pontban leírt reverzibilis esetben''' definíció szerint nincs entrópiaváltozás.
 +
$$ \Delta S_b = \Delta S_{1b} + \Delta S_{2b} = 0$$
 +
és
 +
$$ \Delta S_{1b} = -\Delta S_{2b}. $$
 +
 
 +
Nincs térfogatváltozás, munkavégzés nem történik ($\delta W=p\,\mathrm{d}V=0$, azaz $\delta W_1 = \delta W_2 =0$), a $C$ hőkapacitás az állandó térfogaton mért $C_V$ hőkapacitás.
 +
 
 +
$$ \Delta U_b = \Delta U_{1b} + \Delta U_{2b}
 +
  = C (T_{kb}-T_1) + C (T_{kb}-T_1)
 +
  = 2C \left(T_{kb}-\frac{T_1+ T_2} 2\right)=2C\left(\sqrt{T_1 T_2}-\frac{T_1+T_2} 2\right) \leq 0,$$
 +
most $\Delta U_b \approx -778{,}7\,\mathrm{J}.$
 +
 
 
</wlatex>
 
</wlatex>
 
</noinclude>
 
</noinclude>

A lap jelenlegi, 2013. május 20., 12:49-kori változata

Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika 3. gyakorlat
Gyakorlatok listája:
  1. Kinetikus gázelmélet, transzport
  2. Állapotváltozás, I. főtétel
  3. Fajhő, Körfolyamatok
  4. Entrópia, II. főtétel
  5. Homogén rendszerek
  6. Fázisátalakulások
  7. Kvantummechanikai bevezető
Entrópia, II. főtétel
Feladatok listája:
  1. Izoterm tágulás
  2. Izobár táguláskor
  3. S(T,V), adiabata
  4. Id. g. entrópiája
  5. Forralás
  6. Hőcsere
  7. Carnot-körfolyamat
  8. Keveredési entrópia
    Gibbs-paradoxon
  9. Kaloriméterben
  10. Entrópiaváltozások
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Két test azonos \setbox0\hbox{$C=100\,\mathrm{\frac{J}{K}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hőkapacitású, de hőmérsékletük különböző: \setbox0\hbox{$T_1=273\,\mathrm{K}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, \setbox0\hbox{$T_2=373\,\mathrm{K}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.
    • a) Mennyi lesz a közös hőmérsékletük, ha termikus kapcsolatba hozzuk őket úgy, hogy a környezet felé ne legyen hőátadás?
    • b) Mennyi lesz a közös hőmérséklet, ha a kiegyenlítődést egy reverzíbilisen működő hőerőgép végzi?
    • c) Ha a kiegyenlítődés nem jár térfogatváltozással, mekkora lesz a két esetben a belső energia megváltozása és az entrópia-változás?

Megoldás

a) A két különböző hőmérsékletű test közvetlen kapcsolatba hozása irreverzíbilis folyamat: a rendszerből nem nyerünk ki munkát, a kezdeti állapot pedig csak külső energiabevitellel érhető el újra (ld. a c) pontot is). Nincs térfogatváltozás, egyik test sem végez munkát (\setbox0\hbox{$\delta W_1 = \delta W_2 = 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%). A közös \setbox0\hbox{$T_{ka}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hőmérsékletet abból kapjuk meg, hogy az elszigetelt rendszerben az egyik test által leadott hő megegyezik a másik által felvett hővel:

\[ C(T_{ka}-T_1) = C(T_2-T_{ka}), \]

innen

\[ T_{ka} = \frac{C T_1 + C T_2}{2C} = \frac{T_1+T_2}{2}. \]

b) A Carnot-körfolyamat reverzíbilis: az ideális hőerőgép által termelt munkát a fordított irányban üzemeltetett gépbe visszatáplálva a kezdeti állapot újra elérhető. Reverzíbilis folyamatokra \setbox0\hbox{$\Delta S=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.

Az entrópiaváltozás általános definíciója

\[ \mathrm{d}S = \frac{\delta Q}{T}, \]

amibe helyettesítsük be a közölt hő első főtételből kifejezett \setbox0\hbox{$ \delta Q = \mathrm{d}U+p\,\mathrm{d}V $}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% alakját, ahol \setbox0\hbox{$ \mathrm{d}U = C_V\,\mathrm{d}T $}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%:

\[ \mathrm{d}S = C_V \frac{\mathrm{d}T}{T} + \frac{p\,\mathrm{d}V}{T}. \]

Nincs térfogatváltozás, munkavégzés nem történik (\setbox0\hbox{$\delta W=p\,\mathrm{d}V=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, azaz \setbox0\hbox{$\delta W_1 = \delta W_2 =0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%), a \setbox0\hbox{$C$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hőkapacitás az állandó térfogaton mért \setbox0\hbox{$C_V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hőkapacitás. Kiintegrálva a fenti egyenletet a kezdeti- és a végállapot között:

\[ \Delta S_i = C_V \ln\frac{T_{i\text{vég}}}{T_{i\text{kezd}}}. \]

A teljes rendszerre

\[ \Delta S = \Delta S_1 + \Delta S_2 = C\ln\frac{T_k}{T_1} + C\ln\frac{T_k}{T_2}=C\ln \frac{T_k^2}{T_1 T_2}, \]

innen \setbox0\hbox{$\Delta S_b=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% feltétellel

\[ T_{kb} = \sqrt{T_1 T_2}. \]

c) Az a) pontban leírt irreverzíbilis esetben a teljes rendszert elszigeteltük, összes belső energiája megmarad

\[ \Delta U_a = \Delta U_{1a} + \Delta U_{2a} = 0\]

és

\[ \Delta U_{1a} = -\Delta U_{2a}. \]

Mivel nincs térfogatváltozás, a teljes rendszer entrópiaváltozása

\[ \Delta S_a = \Delta S_{1a} + \Delta S_{2a} = 2C \ln\frac{T_{ka}}{\sqrt{T_1 T_2}} = 2C \ln \frac{\frac{T_1+ T_2} 2}{\sqrt{T_1 T_2}} \geq 0, \]

most \setbox0\hbox{$\Delta S_a \approx 2{,}42\,\mathrm{\frac{J}{K}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.


A b) pontban leírt reverzibilis esetben definíció szerint nincs entrópiaváltozás.

\[ \Delta S_b = \Delta S_{1b} + \Delta S_{2b} = 0\]

és

\[ \Delta S_{1b} = -\Delta S_{2b}. \]

Nincs térfogatváltozás, munkavégzés nem történik (\setbox0\hbox{$\delta W=p\,\mathrm{d}V=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, azaz \setbox0\hbox{$\delta W_1 = \delta W_2 =0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%), a \setbox0\hbox{$C$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hőkapacitás az állandó térfogaton mért \setbox0\hbox{$C_V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hőkapacitás.

\[ \Delta U_b = \Delta U_{1b} + \Delta U_{2b} = C (T_{kb}-T_1) + C (T_{kb}-T_1) = 2C \left(T_{kb}-\frac{T_1+ T_2} 2\right)=2C\left(\sqrt{T_1 T_2}-\frac{T_1+T_2} 2\right) \leq 0,\]

most \setbox0\hbox{$\Delta U_b \approx -778{,}7\,\mathrm{J}.$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%


A lap eredeti címe: „https://fizipedia.bme.hu/index.php?title=Termodinamika_példák_-_Variációk_entrópiaváltozásra&oldid=9953”