„Termodinamika példák - Az entrópia hőmérséklet- és térfogatfüggése, az adiabata egyenlete” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
a (Szöveg koherenssé tétele) |
|||
(egy szerkesztő 2 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
12. sor: | 12. sor: | ||
#* a) <wlatex>Vezesse le az entrópia hőmérséklet- és térfogatfüggését megadó összefüggést!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Vizsgálja az entrópiaváltozást adiabatikus folyamatban!}}{{Végeredmény|content=$$S=\frac{m}{M}R\ln\left(T^{\frac{1}{\gamma-1}}V\right)+S_0$$}}</wlatex></includeonly> | #* a) <wlatex>Vezesse le az entrópia hőmérséklet- és térfogatfüggését megadó összefüggést!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Vizsgálja az entrópiaváltozást adiabatikus folyamatban!}}{{Végeredmény|content=$$S=\frac{m}{M}R\ln\left(T^{\frac{1}{\gamma-1}}V\right)+S_0$$}}</wlatex></includeonly> | ||
#* b) <wlatex>A kapott entrópia-kifejezés segítségével vezesse le az adiabata egyenletét!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Vizsgálja az entrópiaváltozást adiabatikus folyamatban!}}{{Végeredmény|content=$$TV^{\gamma-1}=\mathrm{const.}$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> | #* b) <wlatex>A kapott entrópia-kifejezés segítségével vezesse le az adiabata egyenletét!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Vizsgálja az entrópiaváltozást adiabatikus folyamatban!}}{{Végeredmény|content=$$TV^{\gamma-1}=\mathrm{const.}$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> | ||
+ | |||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
− | <wlatex> | + | <wlatex>'''a)''' Az entrópiaváltozás definíciója |
+ | $$ \mathrm{d}S = \frac{\delta Q}{T}, $$ | ||
+ | amibe helyettesítsük be a közölt hő első főtételből kifejezett | ||
+ | $$ \delta Q = \mathrm{d}U+p\,\mathrm{d}V $$ | ||
+ | alakját, ahol $ \mathrm{d}U=n C_V\,\mathrm{d}T $ és $ p=\frac{nRT}{V}$: | ||
+ | $$ \mathrm{d}S= n C_V \frac{\mathrm{d}T}{T} + nR \frac{\mathrm{d}V}{V}. $$ | ||
+ | |||
+ | Kiintegrálva az egyenletet a kezdeti- és a végállapot között: | ||
+ | $$ S - S_0 = n C_V \ln\frac{T}{T_0} + nR \ln\frac{V}{V_0}, $$ | ||
+ | ahol a fajhőösszefüggések szerint $C_p-C_V=r$ és $\frac{C_p}{C_V}=\gamma$, amikből $C_V = \frac{R}{\gamma-1}$: | ||
+ | $$ S(T,V) = nR \ln\left[ \left(\frac{T}{T_0}\right)^{\textstyle \frac{1}{\gamma-1}} \frac{V}{V_0} \right] + S_0. $$ | ||
+ | |||
+ | Ha a hőmérsékletet és a térfogatot dimenziótlanul, $T_0$ illetve $V_0$ egységekben adjuk meg, akkor helyes a | ||
+ | $$ S(T,V) = nR \ln\left[ T^{\textstyle \frac{1}{\gamma-1}} V \right] + S_0 $$ | ||
+ | felírás is. | ||
+ | |||
+ | '''b)''' Adiabatikus állapotváltozásban az entrópia állandó ($S-S_0=0$), azaz $S(T,V)$ kifejezésében a logaritmus alatt $1$ áll: | ||
+ | $$ \left(\frac{T}{T_0}\right)^{\textstyle \frac{1}{\gamma-1}} \frac{V}{V_0} = 1, $$ | ||
+ | vagyis az adiabata egyenlete | ||
+ | $$ T^{\textstyle \frac{1}{\gamma-1}} V = \mathrm{const.} $$ | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap jelenlegi, 2013. május 13., 00:01-kori változata
Navigáció Pt·1·2·3 |
---|
Kísérleti fizika 3. gyakorlat |
Gyakorlatok listája: |
Entrópia, II. főtétel |
Feladatok listája: |
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Tekintsünk tömegű, móltömegű, fajhőviszonyú ideális gázt.
- a) Vezesse le az entrópia hőmérséklet- és térfogatfüggését megadó összefüggést!
- b) A kapott entrópia-kifejezés segítségével vezesse le az adiabata egyenletét!
Megoldás
a) Az entrópiaváltozás definíciója
amibe helyettesítsük be a közölt hő első főtételből kifejezett
alakját, ahol és :
Kiintegrálva az egyenletet a kezdeti- és a végállapot között:
ahol a fajhőösszefüggések szerint és , amikből :
Ha a hőmérsékletet és a térfogatot dimenziótlanul, illetve egységekben adjuk meg, akkor helyes a
felírás is.
b) Adiabatikus állapotváltozásban az entrópia állandó (), azaz kifejezésében a logaritmus alatt áll:
vagyis az adiabata egyenlete