„Magnetosztatika példák - Tranziens jelenség LR körben” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
(Új oldal, tartalma: „<noinclude> Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 2. Kategória:Szerkesztő:Beleznai Kategória:Magnetosztatika {{Kísérleti fizika gyakorlat | tárgynév …”)
 
(Feladat)
8. sor: 8. sor:
 
}}
 
}}
 
== Feladat ==
 
== Feladat ==
</noinclude><wlatex>#Egy $L$ induktivitású és $R$ ellenállású tekercset egy $U$ elektromotoros erejű telephez kapcsolunk.Mennyi idő alatt éri el az áram az állandósult értékének az $50\%$-át? </wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$t = -\frac{L}{R}\ln\left(0.5\right)$$}}
+
</noinclude><wlatex>#Egy $L$ induktivitású és $R$ ellenállású tekercset egy $U$ elektromotoros erejű telephez kapcsolunk. Mennyi idő alatt éri el az áram az állandósult értékének az $50\%$-át? </wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$t = -\frac{L}{R}\ln\left(0.5\right)$$}}
 
</wlatex></includeonly><noinclude>
 
</wlatex></includeonly><noinclude>
 +
 
== Megoldás ==
 
== Megoldás ==
 
<wlatex>
 
<wlatex>

A lap 2013. szeptember 15., 19:20-kori változata

Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 2.
Gyakorlatok listája:
  1. Erőhatások elektromos erőtérben, elektromos térerősség
  2. Elektromos potenciál
  3. Dielektrikumok, Gauss-tétel. Kapacitás, kondenzátorok
  4. Kapacitás, kondenzátorok. Elrendezések energiája
  5. Vezetőképesség, áramsűrűség
  6. Biot-Savart törvény, gerjesztési törvény
  7. Erőhatások mágneses térben
  8. Mágneses térerősség. Kölcsönös és öninduktivitás
  9. Az indukció törvénye, mozgási indukció
  10. Mágneses tér energiája. Váltakozó áram, eltolási áram
Magnetosztatika - Mágneses tér energiája. Váltakozó áram, eltolási áram
Feladatok listája:
  1. Toroid energiája
  2. Légrésben és a vasmagban tárolt energia
  3. Tranziens jelenség LR körben
  4. Fáziskésés váltakozó-áramú LR körben
  5. Eltolási áram síkkondenzátorban
  6. Váltakozó áramra kapcsolt síkkondenzátorban a térerősség
  7. Eltolási áramsűrűség szolenoidban
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Egy \setbox0\hbox{$L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% induktivitású és \setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% ellenállású tekercset egy \setbox0\hbox{$U$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% elektromotoros erejű telephez kapcsolunk. Mennyi idő alatt éri el az áram az állandósult értékének az \setbox0\hbox{$50\%$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-át?

Megoldás


A valós tekercset helyettesíthetjük egy sorba kapcsolt ideális ellenállással és tekercsel. Ekkor ha felírjuk a hurok-törvényt erre az áramkörre, akkor a következő differenciál egyenletet kapjuk:

\[U = RI + L\dot{I}\]

a kezdetifeltétel pedig a következő:

\[I(t = 0) = 0\]

Ez egy lineáris elsőrendű differenciál egyenlet, amelyet a változók szétválasztásával oldhatunk meg.

\[\int_0^I\frac{d\tilde{I}}{\frac{U}{L}-\frac{R}{L}\tilde{I}} = \int_0^t d\tilde{t}\]

Ebből a differenciál egyenlet megoldása:

\[I\left(t\right) = \frac{U}{R}\left(1-e^{-\frac{R}{L}t}\right)\]

Ebből látszik, hogy az áram maximális értéke: \setbox0\hbox{$I_{max} = \frac{U}{R}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, ami érthető, hiszen a stacionárius állapot beállta után a tekercs jelenléte már nem számít. Ha ki akarjuk számolni, hogy mikor éri el az áram a maximális értékének \setbox0\hbox{$50 \%$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-át, akkor a következő egyenletet kell megoldanunk:

\[1-e^{-\frac{R}{L}t} = 0.5\]

Aminek megoldása:

\[t = -\frac{L}{R}\ln\left(0.5\right)\]