„Munka, energia - Munka számítás 1” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
 
14. sor: 14. sor:
 
</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=Majd lesz}}</wlatex></includeonly><noinclude>
 
</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=Majd lesz}}</wlatex></includeonly><noinclude>
 
== Megoldás ==
 
== Megoldás ==
−
<wlatex>#: Majd lesz.
+
<wlatex>#: a.) Amikor a tömegpont $r$ távolságra van, akkor a helyvektorának koordinátái $x = r \cos (\alpha)$, $y = r \sin (\alpha)$. A kicsiny elmozdulásvektor koordinátái pedig $dx = dr \cos(\alpha)$ és $dy = dr \sin(\alpha)$.
 +
#: A rugalmas erő komponensei pedig $$F_x = - A \,r \cos(\alpha) - B \, r \sin(\alpha) \qquad F_y = - B \, r \cos(\alpha) - C \, r \sin(\alpha) \; .$$ Az elemi munka az erővektor és a kicsiny elmozdulásvektor skaláris szorzata: $$dW = \vec{F} \cdot d\vec{r} = F_x \, dx + F_y \, dy = - A \cos^2(\alpha) \, r dr - B \sin(\alpha) \cos(\alpha) \, r dr - B \cos(\alpha) \sin(\alpha) \, r dr - C \sin^2(\alpha) \, r dr \, .$$
 +
#: b.) A teljes munkavégzés: $$ W = \int dW = \int_0^R (-A \cos^2(\alpha) - 2 B \sin(\alpha) \cos(\alpha) - C \sin^2(\alpha)) \, r \, dr = - (A \cos^2(\alpha) + 2 B \sin(\alpha) \cos(\alpha) + C \sin^2(\alpha)) \frac{R^2}{2}$$
 +
#: c.) Vegyük észre, hogy az erő és az elmozdulás vektorok között lineáris az összefüggés: $$\vec{F} = - \left( \begin{array}{cc} A & B \\ B & C \end{array} \right) \vec{r} \, .$$ A rugóállandó egy szimmetrikus mátrix, melynek sajátvektorai egymásra merőlegesek. A sajátértékek adják meg az adott sajátvektorhoz tartozó rugóállandót, ezek általában nem lesznek egyformák. Tehát különböző rugóállandójú, egymásra merőleges, de nem $x$ és $y$ irányú rugókkal elérhető ez az általánosított eset.
 
</wlatex>
 
</wlatex>
 
</noinclude>
 
</noinclude>

A lap 2014. október 14., 17:19-kori változata

Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája:
  1. Deriválás
  2. Integrálás
  3. Mozgástan
  4. Erőtan I.
  5. Erőtan II.
  6. Munka, energia
  7. Pontrendszerek
  8. Merev testek I.
  9. Merev testek II.
  10. Rugalmasság, folyadékok
  11. Rezgések I.
  12. Rezgések II.
  13. Hullámok
Mechanika - Munka, energia
Feladatok listája:
  1. Munka, energia - 2.2.1
  2. Munka, energia - 2.2.3
  3. Munka, energia - 2.2.7
  4. Munka, energia - 2.2.9
  5. Munka, energia - 2.2.12
  6. Munka, energia - 2.2.13
  7. Munka, energia - 2.2.14
  8. Munka, energia - 2.3.2
  9. Munka, energia - 2.3.6
  10. Munka, energia - 2.3.11
  11. Munka, energia - 2.4.6
  12. Munka, energia - Munka számítás 1
  13. Munka, energia - Munka számítás 2
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Egy síkon mozgó tömegpontra az alábbi általánosított rugalmas erő hat:
    \[F_x(x,y) = - A \, x - B \, y \qquad F_y(x,y) = - B \, x - C \, y \; ,\]
    ahol az általánosított rugalmas állandók: \setbox0\hbox{$A = 5 N/m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, \setbox0\hbox{$B = 3 N/m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$C = 10 N/m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. A tömegpont az origóból indulva, az \setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tengellyel \setbox0\hbox{$\alpha = 30^\circ$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szöget bezáró egyenes pályán mozog.
    a.) Adjuk meg a rugalmas erő \setbox0\hbox{$dW$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% elemi munkáját, amíg a test távolsága az origótól \setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-ről \setbox0\hbox{$r + dr$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-re változik.
    b.) Ez alapján számítsuk ki, mennyi munkát végez a rugalmas erő, amíg a tömegpont az origótól \setbox0\hbox{$R = 2m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% távolságra jut!
    c.) (Bónusz kérdés): Hogyan tudunk ilyen "általánosított" rugóerőt létrehozni?

Megoldás

  1. a.) Amikor a tömegpont \setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% távolságra van, akkor a helyvektorának koordinátái \setbox0\hbox{$x = r \cos (\alpha)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, \setbox0\hbox{$y = r \sin (\alpha)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. A kicsiny elmozdulásvektor koordinátái pedig \setbox0\hbox{$dx = dr \cos(\alpha)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$dy = dr \sin(\alpha)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.
    A rugalmas erő komponensei pedig
    \[F_x = - A \,r \cos(\alpha) - B \, r \sin(\alpha) \qquad F_y = - B \, r \cos(\alpha) - C \, r \sin(\alpha) \; .\]
    Az elemi munka az erővektor és a kicsiny elmozdulásvektor skaláris szorzata:
    \[dW = \vec{F} \cdot d\vec{r} = F_x \, dx + F_y \, dy = - A \cos^2(\alpha) \, r dr - B \sin(\alpha) \cos(\alpha) \, r dr - B \cos(\alpha) \sin(\alpha) \, r dr - C \sin^2(\alpha) \, r dr \, .\]
    b.) A teljes munkavégzés:
    \[ W = \int dW = \int_0^R (-A \cos^2(\alpha) - 2 B \sin(\alpha) \cos(\alpha) - C \sin^2(\alpha)) \, r \, dr = - (A \cos^2(\alpha) + 2 B \sin(\alpha) \cos(\alpha) + C \sin^2(\alpha)) \frac{R^2}{2}\]
    c.) Vegyük észre, hogy az erő és az elmozdulás vektorok között lineáris az összefüggés:
    \[\vec{F} = - \left( \begin{array}{cc} A & B \\ B & C \end{array} \right) \vec{r} \, .\]
    A rugóállandó egy szimmetrikus mátrix, melynek sajátvektorai egymásra merőlegesek. A sajátértékek adják meg az adott sajátvektorhoz tartozó rugóállandót, ezek általában nem lesznek egyformák. Tehát különböző rugóállandójú, egymásra merőleges, de nem \setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$y$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% irányú rugókkal elérhető ez az általánosított eset.
A lap eredeti címe: „https://fizipedia.bme.hu/index.php?title=Munka,_energia_-_Munka_számítás_1&oldid=15284”