„Munka, energia - 2.2.13” változatai közötti eltérés

== Feladat ==

== Feladat ==

</noinclude><wlatex># Egy $h$ magasságú $l$ hosszúságú lejtőt egy fém és egy falécből állítunk össze. A pálya felső részéről rövid fémhasábot eresztünk el. A fém és a fa rész hosszának milyen arányánál érjük el, hogy a hasáb a pálya végén megálljon? Mennyi időre van szükség a teljes út megtételére, ha a fémhasáb és a fém súrlódási együtthatója $\mu=0,2$, a fémhasábé és a fáé $\mu'=0,6$, $h=5\,\mathrm{m}$, $l=13\,\mathrm{m}$?  

</noinclude><wlatex># Egy $h$ magasságú $l$ hosszúságú lejtőt egy fém és egy falécből állítunk össze. A pálya felső részéről rövid fémhasábot eresztünk el. A fém és a fa rész hosszának milyen arányánál érjük el, hogy a hasáb a pálya végén megálljon? Mennyi időre van szükség a teljes út megtételére, ha a fémhasáb és a fém súrlódási együtthatója $\mu=0,2$, a fémhasábé és a fáé $\mu'=0,6$, $h=5\,\mathrm{m}$, $l=13\,\mathrm{m}$?  

== Megoldás ==

== Megoldás ==

<wlatex>#: A mozgás során a kezdeti mozgási energia teljes mértékben disszipálódik. Ha a lejtő felső, fémből készült szakaszának hosszát $d$-vel jelöljük, akkor az energia mérleg $$mgh=mg\cos\alpha\mu d+ mg\cos\alpha\mu'(l-d)$$ szerint írható fel. A lejtő hajlás szögét a $h=l\sin\alpha$ összefüggésből határozhatjuk meg. Az energia mérlegből kifejezve $$d=\frac{1}{\mu-\mu'}\left(\frac{h}{\cos\alpha}-\mu'l\right)\,,$$ így a fémből és fából készült lejtő darabok hosszúságának aránya $$\frac{d}{l-d}=\frac{h-\mu' l\cos\alpha}{\mu l\cos\alpha-h}=\frac{h-\mu' l\sqrt{1-\left(\frac{h}{l}\right)^{2}}}{\mu l \sqrt{1-\left(\frac{h}{l}\right)^{2}}-h}=\frac{1-\mu' \sqrt{\left(\frac{l}{h}\right)^{2}-1}}{\mu \sqrt{\left(\frac{l}{h}\right)^{2}-1}-1}=10,71$$ <br> A felső szakaszon a gyorsulás nagysága és a mozgás időtartama $$a=g(\sin\alpha-\mu\cos\alpha)\qquad\qquad t=\sqrt{\frac{2d}{a}}\,.$$ Az alsó szakaszon hasonlóan $$a'=g(\mu'\cos\alpha-\sin\alpha)\qquad\qquad t'=\sqrt{\frac{2d}{a'}}\,.$$ A mozgás teljes időtartama $$T=t+t'=\sqrt{\frac{2l(\mu'-\mu)\cos\alpha}{g\left(\frac{h}{l}-\mu\cos\alpha  \right)\left(\mu'\cos\alpha-\frac{h}{l}\right)}}=7,26\,\mathrm{s}$$

<wlatex>#: A mozgás során a kezdeti mozgási energia teljes mértékben disszipálódik. Ha a lejtő felső, fémből készült szakaszának hosszát $d$-vel jelöljük, akkor az energia mérleg $$mgh=mg\cos\alpha\mu d+ mg\cos\alpha\mu'(l-d)$$ szerint írható fel. A lejtő hajlás szögét a $h=l\sin\alpha$ összefüggésből határozhatjuk meg. Az energia mérlegből kifejezve $$d=\frac{1}{\mu-\mu'}\left(\frac{h}{\cos\alpha}-\mu'l\right)\,,$$ így a fémből és fából készült lejtő darabok hosszúságának aránya $$\frac{d}{l-d}=\frac{h-\mu' l\cos\alpha}{\mu l\cos\alpha-h}=\frac{h-\mu' l\sqrt{1-\left(\frac{h}{l}\right)^{2}}}{\mu l \sqrt{1-\left(\frac{h}{l}\right)^{2}}-h}=\frac{1-\mu' \sqrt{\left(\frac{l}{h}\right)^{2}-1}}{\mu \sqrt{\left(\frac{l}{h}\right)^{2}-1}-1}=10,71$$ <br> A felső szakaszon a gyorsulás nagysága és a mozgás időtartama $$a=g(\sin\alpha-\mu\cos\alpha)\qquad\qquad t=\sqrt{\frac{2d}{a}}\,.$$ Az alsó szakaszon hasonlóan $$a'=g(\mu'\cos\alpha-\sin\alpha)\qquad\qquad t'=\sqrt{\frac{2d}{a'}}\,.$$ A mozgás teljes időtartama $$T=t+t'=\sqrt{\frac{2l(\mu'-\mu)\cos\alpha}{g\left(\frac{h}{l}-\mu\cos\alpha  \right)\left(\mu'\cos\alpha-\frac{h}{l}\right)}}=7,26\,\mathrm{s}$$

</wlatex>

</wlatex>

</noinclude>

</noinclude>