„Magnetosztatika példák - Parabola alakú vezetőben kialakult indukált feszültség” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
(→Megoldás) |
|||
8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
− | </noinclude><wlatex>#Egy $y = ax^2$ egyenletnek megfelelően parabola alakúra hajlított vezetőt az xy síkra merőleges $B$ mágneses indukciójú térbe helyezzük. A $t = 0$ pillanatban az x tengellyel párhuzamos vezető $w$ gyorsulással elindul az $y = 0$ helyzetből a pozitív $y$ irányban. Állapítsuk meg az indukált feszültséget y függvényeként. [[Kép:KFGY2-9-1.png|none|350px]]</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$U = B\cdot\sqrt{ | + | </noinclude><wlatex>#Egy $y = ax^2$ egyenletnek megfelelően parabola alakúra hajlított vezetőt az xy síkra merőleges $B$ mágneses indukciójú térbe helyezzük. A $t = 0$ pillanatban az x tengellyel párhuzamos vezető $w$ gyorsulással elindul az $y = 0$ helyzetből a pozitív $y$ irányban. Állapítsuk meg az indukált feszültséget y függvényeként. [[Kép:KFGY2-9-1.png|none|350px]]</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$U = -B\cdot\sqrt{\frac{2w}{a}}\cdot y $$}} |
</wlatex></includeonly><noinclude> | </wlatex></includeonly><noinclude> | ||
A lap 2013. október 1., 15:19-kori változata
Feladat
- Egy
egyenletnek megfelelően parabola alakúra hajlított vezetőt az xy síkra merőleges
mágneses indukciójú térbe helyezzük. A
pillanatban az x tengellyel párhuzamos vezető
gyorsulással elindul az
helyzetből a pozitív
irányban. Állapítsuk meg az indukált feszültséget y függvényeként.
Megoldás
Először a vezetékek által bezárt görbe területét kell kiszámoljuk az és az idő függvényében.
A parabola alatti területet a következőképpen írhatjuk fel, amikor a rúd magasságában jár:
![\[\tilde{A} = 2\int_{0}^{\sqrt{\frac{y}{a}}} ax^2dx = \frac{2a^{-\frac{1}{2}}y^{\frac{3}{2}}}{3}\]](/images/math/c/f/9/cf9d1128430215c32b258d7b628de59f.png)
A a görbe alatti terület ismeretében kiszámítható a vezető által körbezárt terület is:
![\[A = 2\cdot(y\cdot\sqrt{\frac{{y}}{a}}-\tilde{A}) = \frac{4}{3} a^{-\frac{1}{2}}\cdot y^{\frac{3}{2}} \]](/images/math/3/2/3/323697966d5d877575b0e03f8d0dec37.png)
Az indukált feszültség a Faraday féle indukciós törvény alapján:
![\[U = -B\cdot\frac{\partial A}{\partial t} = -B\cdot\frac{\partial A}{\partial y}\cdot \frac{\partial y}{\partial t}\]](/images/math/7/e/8/7e8ac429eb10ffd44e2956bd69a724d9.png)
Az függvény kiszámolható a kinematikai egyenletekből:
![\[y(t) =\frac{1}{2}wt^2 \]](/images/math/9/c/0/9c0658fef5c9cdd0c3cc1cf5ada11d87.png)
Amiből az indukált feszültség az függvényében:
![\[U = -2B\cdot\sqrt{\frac{2w}{a}}\cdot y \]](/images/math/0/4/2/04249069c60f0486fb17684da0849958.png)