„Munka, energia - 2.3.2” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
| 9. sor: | 9. sor: | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
</noinclude><wlatex># (2.3.2) Egy $m$ tömegű test kezdősebesség nélkül igen nagy $h$ magasságból esik a Földre. Mekkora a kinetikus energiája a Föld felszínére való becsapódás pillanatában? Mekkora a végsebessége, ha végtelen távolból kezdősebesség nélkül esik a Földre? A légellenállást hanyagoljuk el! | </noinclude><wlatex># (2.3.2) Egy $m$ tömegű test kezdősebesség nélkül igen nagy $h$ magasságból esik a Földre. Mekkora a kinetikus energiája a Föld felszínére való becsapódás pillanatában? Mekkora a végsebessége, ha végtelen távolból kezdősebesség nélkül esik a Földre? A légellenállást hanyagoljuk el! | ||
| − | </wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$E_{kin}=\gamma Mm\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{R+h}\right) \qquad\qquad v=\sqrt{\frac{2\gamma | + | </wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$E_{kin}=\gamma Mm\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{R+h}\right) \qquad\qquad v=\sqrt{\frac{2\gamma M}{R}}$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> |
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex>#: A Föld gravitációs mezejében az $m$ tömegű test potenciális energiája $$V(r)=-\gamma\frac{Mm}{r}\qquad\gamma=6,67\cdot 10^{-11}\,\mathrm{\frac{Nm^{2}}{kg^{2}}}$$ a Föld középpontjától $r$ távolságban. A kezdeti állapotban a test távolsága a Föld középpontjától $R+h$, becsapódáskor pedig $R$. Ha a légellenállástól eltekintünk, akkor nincs disszipáció, tehát a kezdeti és a végső teljes energia megegyeznek egymással. $$V(R+h)=V(R)+E_{kin}\qquad\Rightarrow\qquad E_{kin}=\gamma Mm\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{R+h}\right)$$ $$E_{kin}=\frac{1}{2}mv^{2}\qquad\Rightarrow\qquad v=\sqrt{\frac{2\gamma Mh}{R(R+h)}}$$ Ha végtelen távolból esik a test, vagyis $h\rightarrow\infty$, akkor $$v=\sqrt{\frac{2\gamma M}{R}}$$ a test sebessége becsapódáskor. | <wlatex>#: A Föld gravitációs mezejében az $m$ tömegű test potenciális energiája $$V(r)=-\gamma\frac{Mm}{r}\qquad\gamma=6,67\cdot 10^{-11}\,\mathrm{\frac{Nm^{2}}{kg^{2}}}$$ a Föld középpontjától $r$ távolságban. A kezdeti állapotban a test távolsága a Föld középpontjától $R+h$, becsapódáskor pedig $R$. Ha a légellenállástól eltekintünk, akkor nincs disszipáció, tehát a kezdeti és a végső teljes energia megegyeznek egymással. $$V(R+h)=V(R)+E_{kin}\qquad\Rightarrow\qquad E_{kin}=\gamma Mm\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{R+h}\right)$$ $$E_{kin}=\frac{1}{2}mv^{2}\qquad\Rightarrow\qquad v=\sqrt{\frac{2\gamma Mh}{R(R+h)}}$$ Ha végtelen távolból esik a test, vagyis $h\rightarrow\infty$, akkor $$v=\sqrt{\frac{2\gamma M}{R}}$$ a test sebessége becsapódáskor. | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> | ||
A lap jelenlegi, 2013. október 22., 12:52-kori változata
Feladat
- (2.3.2) Egy
tömegű test kezdősebesség nélkül igen nagy 
magasságból esik a Földre. Mekkora a kinetikus energiája a Föld felszínére való becsapódás pillanatában? Mekkora a végsebessége, ha végtelen távolból kezdősebesség nélkül esik a Földre? A légellenállást hanyagoljuk el!
Megoldás
- A Föld gravitációs mezejében az tömegű test potenciális energiája a Föld középpontjától
![\[V(r)=-\gamma\frac{Mm}{r}\qquad\gamma=6,67\cdot 10^{-11}\,\mathrm{\frac{Nm^{2}}{kg^{2}}}\]](/images/math/3/2/0/3201ce02c7d00c4b7d1f7523cc6be835.png)
távolságban. A kezdeti állapotban a test távolsága a Föld középpontjától 
, becsapódáskor pedig 
. Ha a légellenállástól eltekintünk, akkor nincs disszipáció, tehát a kezdeti és a végső teljes energia megegyeznek egymással. ![\[V(R+h)=V(R)+E_{kin}\qquad\Rightarrow\qquad E_{kin}=\gamma Mm\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{R+h}\right)\]](/images/math/5/a/5/5a5b5c6f7d7f9473ec9c9262a496feab.png)
Ha végtelen távolból esik a test, vagyis![\[E_{kin}=\frac{1}{2}mv^{2}\qquad\Rightarrow\qquad v=\sqrt{\frac{2\gamma Mh}{R(R+h)}}\]](/images/math/1/f/d/1fd23c2cae3a003f330f1fe64b633e90.png)
, akkor a test sebessége becsapódáskor.![\[v=\sqrt{\frac{2\gamma M}{R}}\]](/images/math/c/f/4/cf4ac051639cf85531c2061392214dbd.png)
- A Föld gravitációs mezejében az
