„Munka, energia - 2.3.6” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
(→Megoldás) |
|||
| 15. sor: | 15. sor: | ||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
| − | <wlatex>#: | + | <wlatex>#: a.) A felszínen a gravitációs gyorsulás $g_0$, ha éppen körbe repüli a Földet, úgy a centripetális gyorsulást az $m g_0$ erő hozza létre: $$m g_0 = m \frac{v_1^2}{R} \, ,$$ ebből $v_1 = \sqrt{g_0 R} \approx 7.9 \frac{km}{s}$. |
| − | A | + | #: b.) Bár nem szükséges a feladat megoldásához, de didaktikai okokból vezessük le a centrális gravitációs térerősség helyzeti energiáját! A gravitációs erő kifejezése a Föld középpontjától $r$ távolságban $$F = - \gamma \frac{m M}{r^2} \, ,$$ ahol $M$ a Föld tömege, $\gamma$ a gravitációs állandó. Bár ezeket megadhatnánk, de a kozmikus sebesség számításához elegendő lesz $g_0$ és $R$ ismerete. A negatív előjellel jelezzük, hogy az erő befelé, a Föld középpontja felé mutat. |
| + | #: A gravitációs helyzeti energia felírásához meg kell adnunk egy $r_0$ távolságot, ahol felvesszük a helyzeti energia nulla szintjét. A Föld középpontjától $r$ távolságra a helyzeti energia ezután megadható, ha kiszámítjuk a gravitációs erő munkáját, amíg $r$-ből $r_0$-ba visszük a tömegpontot. Előadáson szerepelt, hogy ez független az úttól (ezért lehet egyáltalán helyzeti energiáról beszélni), ezért egyszerűen $$E_h = \int_{r}^{r_0} - \gamma \frac{m M}{r'^2} dr' = \left[ \gamma \frac{m M}{r'} \right]_{r}^{r_0} = + \gamma \frac{m M}{r_0} - \gamma \frac{m M}{r} \; .$$ Mennyinek válasszuk $r_0$-t? Látható, ha $r_0 \rightarrow \infty$, akkor az első tag eltűnik, így ez egy kényelmes választás, és ez is a szokás. Azaz $$E_h = - \gamma \frac{m M}{r} \, .$$ | ||
| + | #: Nem adtuk meg $\gamma$-t és $M$-et, de tudjuk, hogy a Föld felszínén $$\gamma \frac{m M}{R^2} = m g_0 \, ,$$ ebből $\gamma M = R^2 g_0$. Ezzel $$E_h = - \frac{m R^2 g_0}{r} \; .$$ | ||
| + | #: Egy test akkor hagyhatja el a Föld gravitációs terét, ha az összenergiája (mozgási + helyzeti) elegendő ahhoz, hogy végtelen messze távolodhasson a Földtől. Mivel a helyzeti energia nulla szintjét a végtelenben vettük fel, ezért ez azzal ekvivalens, hogy az összenergiának pozitívnak kell lennie. A Föld felszínén ($R = r$) felírva ezt a feltételt, a második kozmikus sebességre $$ 0 = E = E_m + E_h = \frac{1}{2} m v_{2}^2 - \frac{m R^2 g_0}{R} \; ,$$ ebből $$v_{2} = \sqrt{2 g_0 R} \approx 11.2 \, km/s \; .$$ | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> | ||
A lap jelenlegi, 2014. október 14., 18:15-kori változata
Feladat
- (*2.3.6 alapján)
- a.) Első kozmikus sebességnek nevezzük azt a sebességet, amennyivel a Föld felszínén vízszintesen el kell lőni egy testet, hogy körpályán megkerülje a Földet, feltéve hogy nincs légellenállás. Mekkora az első kozmikus sebesség a Földön?
- b.) Második kozmikus sebességnek nevezzük azt a sebességet, amennyivel elindítva egy testet a Föld felszínéről, el tud szabadulni a Földtől. Mekkora a második kozmikus sebesség?
- (Adatok:
, 
)
Megoldás
- a.) A felszínen a gravitációs gyorsulás
, ha éppen körbe repüli a Földet, úgy a centripetális gyorsulást az 
erő hozza létre: ebből![\[m g_0 = m \frac{v_1^2}{R} \, ,\]](/images/math/8/c/f/8cfa770e6e626ea6ddf6fd6367f09f72.png)
.
- b.) Bár nem szükséges a feladat megoldásához, de didaktikai okokból vezessük le a centrális gravitációs térerősség helyzeti energiáját! A gravitációs erő kifejezése a Föld középpontjától
távolságban ahol![\[F = - \gamma \frac{m M}{r^2} \, ,\]](/images/math/e/a/7/ea70c7c530c403ee8fb72ffc08d10ddd.png)
a Föld tömege, 
a gravitációs állandó. Bár ezeket megadhatnánk, de a kozmikus sebesség számításához elegendő lesz és 
ismerete. A negatív előjellel jelezzük, hogy az erő befelé, a Föld középpontja felé mutat.
- A gravitációs helyzeti energia felírásához meg kell adnunk egy
távolságot, ahol felvesszük a helyzeti energia nulla szintjét. A Föld középpontjától távolságra a helyzeti energia ezután megadható, ha kiszámítjuk a gravitációs erő munkáját, amíg -ből -ba visszük a tömegpontot. Előadáson szerepelt, hogy ez független az úttól (ezért lehet egyáltalán helyzeti energiáról beszélni), ezért egyszerűen Mennyinek válasszuk![\[E_h = \int_{r}^{r_0} - \gamma \frac{m M}{r'^2} dr' = \left[ \gamma \frac{m M}{r'} \right]_{r}^{r_0} = + \gamma \frac{m M}{r_0} - \gamma \frac{m M}{r} \; .\]](/images/math/5/2/0/52014272eeb32d89657e9e5d03db2bab.png)
-t? Látható, ha 
, akkor az első tag eltűnik, így ez egy kényelmes választás, és ez is a szokás. Azaz ![\[E_h = - \gamma \frac{m M}{r} \, .\]](/images/math/1/3/2/1322391d8c3fa21df16cc9f1f0ddbea3.png)
- Nem adtuk meg -t és -et, de tudjuk, hogy a Föld felszínén ebből
![\[\gamma \frac{m M}{R^2} = m g_0 \, ,\]](/images/math/0/d/9/0d9dc06a2a0f95140bc7fb43897fbd1c.png)
. Ezzel ![\[E_h = - \frac{m R^2 g_0}{r} \; .\]](/images/math/3/2/2/3227148017774ccc84a8cd0ffe91af74.png)
- Egy test akkor hagyhatja el a Föld gravitációs terét, ha az összenergiája (mozgási + helyzeti) elegendő ahhoz, hogy végtelen messze távolodhasson a Földtől. Mivel a helyzeti energia nulla szintjét a végtelenben vettük fel, ezért ez azzal ekvivalens, hogy az összenergiának pozitívnak kell lennie. A Föld felszínén (
) felírva ezt a feltételt, a második kozmikus sebességre ebből![\[ 0 = E = E_m + E_h = \frac{1}{2} m v_{2}^2 - \frac{m R^2 g_0}{R} \; ,\]](/images/math/5/c/6/5c6e98a6733999a469b9a9e79b6999e0.png)
![\[v_{2} = \sqrt{2 g_0 R} \approx 11.2 \, km/s \; .\]](/images/math/9/5/3/95370264f7b2cdb4a313e11bdc894ab5.png)
- a.) A felszínen a gravitációs gyorsulás
