Termodinamika példák - Variációk entrópiaváltozásra

Feladat

1. Két test azonos $\setbox0\hbox{$C=100\,\mathrm{\frac{J}{K}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőkapacitású, de hőmérsékletük különböző: $\setbox0\hbox{$T_1=273\,\mathrm{K}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$T_2=373\,\mathrm{K}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.
   • a) Mennyi lesz a közös hőmérsékletük, ha termikus kapcsolatba hozzuk őket úgy, hogy a környezet felé ne legyen hőátadás?
   • b) Mennyi lesz a közös hőmérséklet, ha a kiegyenlítődést egy reverzíbilisen működő hőerőgép végzi?
   • c) Ha a kiegyenlítődés nem jár térfogatváltozással, mekkora lesz a két esetben a belső energia megváltozása és az entrópia-változás?

Megoldás

a) A két különböző hőmérsékletű test közvetlen kapcsolatba hozása irreverzíbilis folyamat: a rendszerből nem nyerünk ki munkát, a kezdeti állapot pedig csak külső energiabevitellel érhető el újra (ld. a c) pontot is). A közös $\setbox0\hbox{$T_k$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékletet abból kapjuk meg, hogy az elszigetelt rendszerben az egyik test által leadott hő megegyezik a másik által felvett hővel:

$\[ C(T_{ka}-T_1) = C(T_2-T_{ka}), \]$

innen

$\[ T_{ka} = \frac{C T_1 + C T_2}{2C} = \frac{T_1+T_2}{2}. \]$

b) A Carnot-körfolyamat reverzíbilis: az ideális hőerőgép által termelt munkát a fordított irányban üzemeltetett gépbe visszatáplálva a kezdeti állapot újra elérhető. Reverzíbilis folyamatokra $\setbox0\hbox{$\Delta S=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

Az entrópiaváltozás általános definíciója

$\[ \mathrm{d}S = \frac{\delta Q}{T}, \]$

amibe helyettesítsük be a közölt hő első főtételből kifejezett $\setbox0\hbox{$ \delta Q = \mathrm{d}U+p\,\mathrm{d}V $}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ alakját, ahol $\setbox0\hbox{$ \mathrm{d}U = C_V\,\mathrm{d}T $}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$:

$\[ \mathrm{d}S = C_V \frac{\mathrm{d}T}{T} + \frac{p\,\mathrm{d}V}{T}. \]$

Nincs térfogatváltozás, munkavégzés nem történik ($\setbox0\hbox{$\mathrm{d}W=p\,\mathrm{d}V=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, azaz $\setbox0\hbox{$\Delta W_1 = \delta W_2 =0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$), a $\setbox0\hbox{$C$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőkapacitás az állandó térfogaton mért $\setbox0\hbox{$C_V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőkapacitás. Kiintegrálva a fenti egyenletet a kezdeti- és a végállapot között:

$\[ \Delta S_i = C_V \ln\frac{T_{i\text{vég}}}{T_{i\text{kezd}}}. \]$

A teljes rendszerre

$\[ \Delta S = \Delta S_1 + \Delta S_2 = C\ln\frac{T_k}{T_1} + C\ln\frac{T_k}{T_2}=C\ln \frac{T_k^2}{T_1 T_2}, \]$

innen $\setbox0\hbox{$\Delta S_b=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ feltétellel

$\[ T_{kb} = \sqrt{T_1 T_2}. \]$

c) Az a) pontban leírt irreverzíbilis esetben a teljes rendszert elszigeteltük, összes belső energiája megmarad

$\[ \Delta U_a = \Delta U_{1a} + \Delta U_{2a} = 0\]$

és

$\[ \Delta U_{1a} = -\Delta U_{2a}. \]$

Mivel nincs térfogatváltozás, a teljes rendszer entrópiaváltozása

$\[ \Delta S_a = C \ln\frac{T_k}{T_1} + C \ln\frac{T_k}{T_2} = 2C \ln\frac{T_k}{\sqrt{T_1 T_2}} = 2C \ln \frac{\frac{T_1+ T_2} 2}{\sqrt{T_1 T_2}} \geq 0, \]$

most $\setbox0\hbox{$\Delta S_a \approx 2{,}42\,\mathrm{\frac{J}{K}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

A b) pontban leírt reverzibilis esetben definíció szerint nincs entrópiaváltozás.

$\[ \Delta S_b = \Delta S_{1b} + \Delta S_{2b} = 0\]$

és

$\[ \Delta S_{1b} = -\Delta S_{2b}. \]$

Ugyanúgy nincs térfogatváltozás, munkavégzés nem történik ($\setbox0\hbox{$\mathrm{d}W=\frac{p\,\mathrm{d}V}=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, azaz $\setbox0\hbox{$\Delta W_1 = \delta W_2 =0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$), a $\setbox0\hbox{$C$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőkapacitás az állandó térfogaton mért $\setbox0\hbox{$C_V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőkapacitás.

$\[ \Delta U_b = \Delta U_{1b} + \Delta U_{2b} = C (T_{kb}-T_1) + C (T_{kb}-T_1) = 2C \left(T_{kb}-\frac{T_1+ T_2} 2\right)=2C\left(\sqrt{T_1 T_2}-\frac{T_1+T_2} 2\right) \leq 0,\]$

most $\setbox0\hbox{$\Delta U_b \approx -778{,}7\,\mathrm{J}.$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$