Magnetosztatika példák - Parabola alakú vezetőben kialakult indukált feszültség
A Fizipedia wikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen Beleznai (vitalap | szerkesztései) 2013. szeptember 15., 16:02-kor történt szerkesztése után volt.
Feladat
- Egy
egyenletnek megfelelően parabola alakúra hajlított vezetőt az xy síkra merőleges
mágneses indukciójú térbe helyezzük. A
pillanatban az x tengellyel párhuzamos vezető
gyorsulással elindul az
helyzetből a pozitív
irányban. Állapítsuk meg az indukált feszültséget y függvényeként.
Megoldás
Először a vezetkéke által bezárt görbe területét kell kiszámoljuk az és az idő függvényében.
A fél parabola alatti területet a következőképpen írhatjuk fel amikor a rúd
magasságában jár:
![\[\tilde{A} = \int_0^{\sqrt{\frac{y}{a}}} ax^2dx = \frac{a^{-\frac{1}{2}}y^{\frac{3}{2}}}{3}\]](/images/math/9/d/6/9d66c398cb94227397af3513b5faf535.png)
A vezető által körbezárt terület ebből pedig:
![\[A = y\cdot\frac{\sqrt{y}}{a}-2\tilde{A} = \frac{1}{3} a^{-\frac{1}{2}}\cdot y^{\frac{3}{2}} \]](/images/math/f/f/c/ffc2dee0fb4d41251c3ee2744f01aaac.png)
Az indukált feszültség a Faraday féle indukciós törvény alapján:
![\[U = -B\cdot\frac{\partial A}{\partial t} = -B\cdot\frac{\partial A}{\partial y}\cdot \frac{\partial y}{\partial t}\]](/images/math/7/e/8/7e8ac429eb10ffd44e2956bd69a724d9.png)
Az függvény kiszámolható a kinematikai egyenletekből:
![\[y(t) =\frac{1}{2}wt^2 \]](/images/math/9/c/0/9c0658fef5c9cdd0c3cc1cf5ada11d87.png)
Amiből az indukált feszültség függvényében:
![\[U = B\cdot\sqrt{aw}\cdot y \]](/images/math/e/2/8/e2897e2115c346163e2748ef2815b19f.png)