Magnetosztatika példák - Szolenoid mágneses tere (Ampere-féle gerjesztés)
Feladat
- Határozzuk meg a mágneses indukció nagyságát egy
hosszúságú,
menetű szolenoidban, amelyben
áram folyik gerjesztési törvény segítségével.
Megoldás
a.) Vegyünk fel egy
oldalakkal határolt téglalap alakú zárt hurkot, melynek
oldala
hosszúságú, és egybe esik a szolenoid tengelyével. Az erre merőleges
és
oldalai igen hosszúak, így a téglalap szintén
hosszúságú
oldala olyan távol van a szolenoidtól, hogy annak tere ott már elhanyagolható.
Írjuk fel erre a zárt görbére az Amper-féle gerjesztési törvényt:
![\[\sum I=\oint \vec{H}\vec{dl}\]](/images/math/6/a/a/6aaa8b49e2de5a331efe6620c4dfcc74.png)
A zárt görbe által határolt területen átfolyik a szolenoid darab menetének
árama, így a gerjesztési törvény:
![\[NI=\int_a \vec{H}\vec{dl}+\int_b \vec{H}\vec{dl}+\int_c \vec{H}\vec{dl}+\int_d \vec{H}\vec{dl}\]](/images/math/4/a/e/4ae37ef2c2ce3bbc77129fcd75373b2b.png)
Vegyük szemügyre a zárt görbére vonatkozó integrált. A téglalap alakú görbe hosszúságú, a szolenoid tengelyével egybeeső
oldala mentén feltételezzük, hogy a
térerősség állandó nagyságú, mely feltételezés helytálló, ha a szolenoid nagyságrendekkel hosszabb, mint a tekercs átmérője. A tekercs hengerszimmetriája miatt feltételezhetjük azt is, hogy a
térerősség vektor a tekercs tengelye mentén mindenütt tengelyirányú. Ezen feltételezések mellett az általunk felvett téglalap szolenoidban futó
oldala mentén a gerjesztési törvényben szereplő integrál az alábbiak szerint egyszerűsödik:
![\[\int_a \vec{H}\vec{dl}=H\int_a dl=Hl\]](/images/math/f/c/8/fc8661c1e8617a3f6ad65b8d032eb66f.png)
A szolenoid geometriája miatt feltételezhetjük, hogy a tekercs két végén kifutó mágneses erővonalak profiljai egymásra tükörszimmetrikusak, csak az erővonalakat alkotó vektorok mutatnak az egyik végen a tekercs belseje felé, míg a másik végen kifelé. ezen szimmetriatulajdonság miatt feltételezzük, hogy az általunk felvett téglalap tekercs tengelyére merőleges oldalai mentén kiszámított integrálok egymásnak ellentettjei:
![\[\int_d \vec{H}\vec{dl}=-\int_b \vec{H}\vec{dl}\]](/images/math/a/f/8/af87df5b8622e2ce4691d9da765e7fa7.png)
A téglalap és
oldalát elegendően hosszúra választva az utolsó,
oldal olyan távol esik a szolenoidtól, hogy ott a szolenoid tere elhanyagolható
. Így a
oldalra vett integrál értéke is zérus:
![\[\int_c \vec{H}\vec{dl}=0\]](/images/math/9/c/3/9c3156d656736a7f6de2eebb7c1bc385.png)
Ezen közelítéseknek köszönhetően a gerjesztési törvény tovább egyszerűsíthető:
![\[NI=\int_a \vec{H}\vec{dl}+\int_b \vec{H}\vec{dl}+\int_c \vec{H}\vec{dl}+\int_d \vec{H}\vec{dl}=Hl+\int_b \vec{H}\vec{dl}-\int_b \vec{H}\vec{dl}+0\]](/images/math/3/7/6/3768c8794ef0e83100be87cec5fb8fd5.png)
A kapott egyenlet:
![\[NI=Hl\]](/images/math/4/3/f/43f3d606ba460d88eac0b42383c61106.png)
Ebből kiszámolható az árammal átjárt
hosszúságú szolenoid belsejében mérhető mágneses indukció:
![\[B=\dfrac{\mu_0 NI}{l}\]](/images/math/2/0/7/207641385b12448b0305980157b8c127.png)