Munka, energia - 2.3.6

Feladat

1. (*2.3.6 alapján)

   a.) Első kozmikus sebességnek nevezzük azt a sebességet, amennyivel a Föld felszínén vízszintesen el kell lőni egy testet, hogy körpályán megkerülje a Földet, feltéve hogy nincs légellenállás. Mekkora az első kozmikus sebesség a Földön?

   b.) Második kozmikus sebességnek nevezzük azt a sebességet, amennyivel elindítva egy testet a Föld felszínéről, el tud szabadulni a Földtől. Mekkora a második kozmikus sebesség?

   (Adatok: $\setbox0\hbox{$R_{F} = 6370 km$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$g_{0} = 9.81 m/s^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$)

Megoldás

1. A Föld gravitációs mezejében az $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű test potenciális energiája

   $\[V(r)=-\gamma\frac{Mm}{r}\qquad\gamma=6,67\cdot 10^{-11}\,\mathrm{\frac{Nm^{2}}{kg^{2}}}\]$

   a Föld középpontjától $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságban. A Föld felszínén a test potenciális energiája $\setbox0\hbox{$V(R)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Ha a légellenállástól eltekintünk, akkor a szökési sebesség az a $\setbox0\hbox{$v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebesség, melyre

   $\[V(R)+\frac{1}{2}mv^{2}=V(r\rightarrow\infty)\qquad\Rightarrow\qquad v=\sqrt{\frac{2\gamma M}{R}}=1,11\cdot 10^{4}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\,.\]$

   Az ekkora sebességre való felgyorsításhoz szükséges teljesítmény

   $\[P=\frac{\frac{1}{2}mv^{2}}{\Delta t}=6,16\cdot 10^{7}W\,,\]$

   ha eltekintünk a gyorsítás során megtett úttól.