Termodinamika példák - Entrópiaváltozás egyensúlyig kaloriméterben

Feladat

1. $\setbox0\hbox{$0,\!2\,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$100\,\mathrm{^\circ C}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékletű vasat hőszigetelt kaloriméterben lévő, $\setbox0\hbox{$0,\!5\,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$12\,\mathrm{^\circ C}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-os vízbe teszünk. A vas fajhője $\setbox0\hbox{$c_1=0,\!46\cdot {10}^3\,\mathrm{\frac{J}{kg\,K}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a vízé $\setbox0\hbox{$c_2=4,\!18\cdot {10}^3\,\mathrm{\frac{J}{kg\,K}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Mennyi az entrópia-változás a hőmérséklet kiegyenlítődése miatt, ha a nyomás állandó?

Megoldás

A közös $\setbox0\hbox{$T_k$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékletet úgy kapjuk meg, ha felírjuk, hogy a vas által leadott hő megegyezik a víz által felvett hővel:

$\[ c_1 m_1\left(T_1-T_k\right)= c_2 m_2\left(T_k-T_2\right), \]$

ahol $\setbox0\hbox{$T_1=373\,\mathrm{K}>T_k>T_2=285\,\mathrm{K}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a vas kezdeti, a közös és víz kezdeti hőmérséklete, $\setbox0\hbox{$m_1=0,\!2\,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a vas, $\setbox0\hbox{$m_2=0,\!5\,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a víz hőmérséklete.

$\[ T_k = \frac{c_1 m_1 T_1+ c_2 m_2 T_2}{c_1 m_1+ c_2 m_2}\approx 288,\!71\,\mathrm{K}. \]$

Az entrópiaváltozás a részrendszerek entrópiaváltozásának összege:

\[ \Delta S = \int_{T_1}^{T_k} \frac{c_1 m_1} T\,\mathrm{d}T+ \int_{T_2}^{T_k} \frac{c_2 m_2} T\,\mathrm{d}T
    = c_1 m_1 \ln\frac{T_k}{T_1} + c_2 m_2 \ln\frac{T_k}{T_2}
    \approx - 23,\!57 \mathrm{\frac{J}{K}} + 27,\!03 \mathrm{\frac{J}{K}} 
    = 3,\!46 \mathrm{\frac{J}{K}. \]