Magnetosztatika példák - Félkör alakú vezető darabra ható erő

Feladat

1. Egy $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú, $\setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ áram által átjárt körvezetőt síkjára merőleges $\setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ indukciójú homogén mágneses térbe helyezünk. Mekkora és milyen irányú erő hat a félkör hosszúságú vezető darabra?

Megoldás

Tekintsük a körvezető $\setbox0\hbox{$\varphi=0..\pi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ középponti szögekkel jellemzett szakaszát! Ezt felbontjuk infinitezimálisan kis $\setbox0\hbox{$dl$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szakaszdarabokra, melyekről tudjuk, hogy rájuk:

$\[\vec{dF}=I(\vec{dl}\times \vec{B})\]$

Lorentz erő hat. Mivel $\setbox0\hbox{$\vec{B}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ merőleges a körív síkjára, az infinitezimális Lorentz erők mindenütt sugár irányban feszítik a gyűrűt, ha feltételezzük, hogy az $\setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ áram az óramutató járásával ellentétes irányban folyik. A félkörívre ható teljes erő ezen elemi erők összegzésével kapható meg. Az $\setbox0\hbox{$y$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tengelyre szimmetrikus félkör mentén felösszegzett Lorentz erők $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tengellyel párhuzamos komponensei kioltják egymást, míg az $\setbox0\hbox{$y$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ komponensek konstruktívan adódnak össze. Az elemi Lorentz erő függőleges komponense megkapható a következő módon:

$\[dF_y=dF\sin(\varphi)=IB\sin(\varphi)dl\]$

Az elemi ívdarabok $\setbox0\hbox{$dl=Rd\varphi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ parametrizálásával a következő kifejezést kapjuk az elemi Lorentz erő $\setbox0\hbox{$y$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ komponensére:

$\[dF_y=IBR\sin(\varphi)d\varphi\]$

A teljes félkörívre ható $\setbox0\hbox{$y$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ irányú erőt megkapjuk, ha az elemi $\setbox0\hbox{$dF_y$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ erőket felösszegezzük a $\setbox0\hbox{$\varphi=0..\pi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ félkörív mentén:

$\[F_y=\int dF_y=IBR \int_0^{\pi} \sin(\varphi)d\varphi=-IBR(\cos(\pi)-\cos(0))=2IBR\]$