Magnetosztatika példák - Szolenoid mágneses tere (Ampere-féle gerjesztés)

Feladat

1. Határozzuk meg a mágneses indukció nagyságát egy $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú, $\setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ menetű szolenoidban, amelyben $\setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ áram folyik gerjesztési törvény segítségével.

Megoldás

a.) Vegyünk fel egy $\setbox0\hbox{$'a'$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ $\setbox0\hbox{$'b'$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ $\setbox0\hbox{$'c'$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ $\setbox0\hbox{$'d'$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ oldalakkal határolt téglalap alakú zárt hurkot, melynek $\setbox0\hbox{$'a'$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ oldala $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú, és egybe esik a szolenoid tengelyével. Az erre merőleges $\setbox0\hbox{$'b'$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$'d'$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ oldalai igen hosszúak, így a téglalap szintén $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú $\setbox0\hbox{$'c'$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ oldala olyan távol van a szolenoidtól, hogy annak tere ott már elhanyagolható. Írjuk fel erre a zárt görbére az Amper-féle gerjesztési törvényt:

$\[\sum I=\oint \vec{H}\vec{dl}\]$

A zárt görbe által határolt területen átfolyik a szolenoid $\setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ darab menetének $\setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ árama, így a gerjesztési törvény:

$\[NI=\int_a \vec{H}\vec{dl}+\int_b \vec{H}\vec{dl}+\int_c \vec{H}\vec{dl}+\int_d \vec{H}\vec{dl}\]$

Vegyük szemügyre a zárt görbére vonatkozó integrált. A téglalap alakú görbe $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú, a szolenoid tengelyével egybeeső $\setbox0\hbox{$'a'$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ oldala mentén feltételezzük, hogy a $\setbox0\hbox{$H$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ térerősség állandó nagyságú, mely feltételezés helytálló, ha a szolenoid nagyságrendekkel hosszabb, mint a tekercs átmérője. A tekercs hengerszimmetriája miatt feltételezhetjük azt is, hogy a $\setbox0\hbox{$\vec{H}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ térerősség vektor a tekercs tengelye mentén mindenütt tengelyirányú. Ezen feltételezések mellett az általunk felvett téglalap szolenoidban futó $\setbox0\hbox{$'a'$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ oldala mentén a gerjesztési törvényben szereplő integrál az alábbiak szerint egyszerűsödik:

$\[\int_a \vec{H}\vec{dl}=H\int_a dl=Hl\]$

A szolenoid geometriája miatt feltételezhetjük, hogy a tekercs két végén kifutó mágneses erővonalak profiljai egymásra tükörszimmetrikusak, csak az erővonalakat alkotó vektorok mutatnak az egyik végen a tekercs belseje felé, míg a másik végen kifelé. ezen szimmetriatulajdonság miatt feltételezzük, hogy az általunk felvett téglalap tekercs tengelyére merőleges oldalai mentén kiszámított integrálok egymásnak ellentettjei:

$\[\int_d \vec{H}\vec{dl}=-\int_b \vec{H}\vec{dl}\]$

A téglalap $\setbox0\hbox{$'b'$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$'d'$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ oldalát elegendően hosszúra választva az utolsó, $\setbox0\hbox{$'c'$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ oldal olyan távol esik a szolenoidtól, hogy ott a szolenoid tere elhanyagolható $\setbox0\hbox{$H=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Így a $\setbox0\hbox{$'c'$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ oldalra vett integrál értéke is zérus:

$\[\int_c \vec{H}\vec{dl}=0\]$

Ezen közelítéseknek köszönhetően a gerjesztési törvény tovább egyszerűsíthető:

$\[NI=\int_a \vec{H}\vec{dl}+\int_b \vec{H}\vec{dl}+\int_c \vec{H}\vec{dl}+\int_d \vec{H}\vec{dl}=Hl+\int_b \vec{H}\vec{dl}-\int_b \vec{H}\vec{dl}+0\]$

A kapott egyenlet:

$\[NI=Hl\]$

Ebből kiszámolható az $\setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ árammal átjárt $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú szolenoid belsejében mérhető mágneses indukció:

$\[B=\dfrac{\mu_0 NI}{l}\]$