Magnetosztatika példák - Szolenoid mágneses tere 2. (Biot-Savart)
Feladat
- Határozzuk meg a mágneses indukció nagyságát egy
sugarú, 
hosszúságú, 
menetű szolenoidban, amelyben 
áram folyik, Biot-Savart törvény segítségével.
Megoldás
Éljünk azzal a közelítéssel, hogy a szolenoid nem tekercs, hanem egy folytonos vezető hengerpalást, melyben összesen 
áram folyik egyenletes 
felületi áramsűrűséggel, a henger palástján körbefutó köráramok formájában.
Határozzuk meg a felületi áramsűrűség nagyságát:
![\[j=\dfrac{NI}{l}\]](/images/math/e/d/7/ed7f54a29072fd7903a5f91c0ce2905e.png)
Essen egybe a szolenoid tengelye a koordinátarendszer 
tengelyével, a szolenoid középpontja pedig az origóval! Bontsuk fel a szolenoidot modellező hengerpalástunkat 
szélességű elemi gyűrűkre. Egy elemi gyűrűben folyó 
áram nagysága:
![\[dI=jdz=\dfrac{NI}{l}dz\]](/images/math/7/b/4/7b4d534a3b4018a231b64c90973dae66.png)
A szolenoid terét meghatározhatjuk úgy, hogy a sok infinitezimális árammal átjárt sugarú gyűrű által keltett teret összegezzük az origóban, vagyis a szolenoid középpontjában. A problémát az jelenti, hogy minden egyes köráram az origótól eltérő távolságra helyezkedik el. Szerencsére az árammal átjárt, sugarú gyűrű terét ismerjük tengelyének minden pontjában a Körmozgást végző töltött test mágneses tere b.) feladatának megoldásából:
![\[B=\dfrac{\mu_0 I R^2}{2 (R^2+z^2)^{3/2}}\]](/images/math/6/3/c/63c6bf22be1f7f3b0ac668b4745c59ee.png)
Tehát a mi esetünkben az infinitezimális árammal átjárt gyűrű elemi indukció járuléka:
![\[dB=\dfrac{\mu_0 R^2}{2 (R^2+z^2)^{3/2}} dI=\dfrac{\mu_0 NI R^2}{2l (R^2+z^2)^{3/2}} dz\]](/images/math/0/c/6/0c67c929f0a23aba7737715fc14cd215.png)
A szolenoid középpontjában úgy kaphatjuk meg a teljes teret, ha az elemi áramgyűrűk terét felösszegezzük a szolenoid elejétől a végéig:
![\[B=\int dB=\dfrac{\mu_0 NI R^2}{2l} \int_{-l/2}^{l/2}\dfrac{1}{(R^2+z^2)^{3/2}} dz\]](/images/math/e/8/a/e8a7828ee4034404837d10350f3f3a84.png)
Az integrált kiszámolva:
![\[B=\dfrac{\mu_0 NI R^2}{2l} \left[ \dfrac{z}{R^2(R^2+z^2)^{1/2}} \right]_{-l/2}^{l/2}=\dfrac{\mu_0 NI}{\sqrt{4R^2+l^2}}\]](/images/math/9/9/1/9918f1ccd1d6c4321eab941e45e52bd4.png)
Megjegyzés:
Megoldásunkat érdemes összevetni a Szolenoid mágneses tere (Ampere-féle gerjesztés) feladatának eredményével, ahol az Amper-féle gerjesztési törvény segítségével vezettük le a szolenoid terének jól ismert formuláját:
![\[B=\dfrac{\mu_0 NI}{l}\]](/images/math/2/0/7/207641385b12448b0305980157b8c127.png)
Vegyük a jelen feladat eredményének azt a határesetét, amikor a tekercs keresztmetszeti sugara elhanyagolható a tekercs hosszához képest:
![\[\lim_{R/l \to 0}B=\lim_{R/l \to 0}\dfrac{\mu_0 NI}{\sqrt{4R^2+l^2}}=\dfrac{\mu_0 NI}{l}\]](/images/math/7/0/8/708e6805e1c5b648b091966e360e2b4f.png)
Tehát határértékben visszakapjuk a gerjesztési törvényből származó formulát. A fenti gondolatmenet azonban megmutatta, hogy alkalmazása csak akkor ad pontos eredményt, ha a tekercs keresztmetszete jóval kisebb, mint a hossza.
