Magnetosztatika példák - Légrésben és a vasmagban tárolt energia

Feladat

1. Egy $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ középsugarú,$\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ átmérőjű vasgyűrűre $\setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ menetet tekercselnek. A gyűrűn $\setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ széles légrést alakítanak ki. A használatos gerjesztő áramoknál a vas relatív permeabilitása $\setbox0\hbox{$\epsilon_r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Határozzuk meg a légrésben és a vasmagban tárolt energia arányát! Az energiából mekkora öninduktivitás számolható?

Megoldás

Írjuk fel az Amperé-féle gerjesztési törvényt egy a troid belsejében záródó görbére:

$\[\oint \vec{H}\vec{dl} = NI\]$

\[H_{vas}2\pi\left(r-b\right)+H_{rés}2\pi b = N I\]

Mivel a mágneses indukció mindkét közegben egyforma, ezért:

$\[\frac{B}{\mu_0 \mu_r}2\pi \left(r-b\right) + \frac{B}{\mu_0}2\pi b = NI \]$

Ebből a mágneses indukció mindkét közegben:

\[B = \frac{NI\mu_0}{2\pi\left(\frac{r-b}{\mu_r}+b}}\right)\]

A mágneses térerősség a két közegben:

\[H_{vas} = \frac{B}{\mu_0 \mu_r} = \frac{NI}{2\pi\mu_r\left(\frac{r-b}{\mu_r}+b}}\right)\]

\[H_{rés} = \frac{B}{\mu_0} = \frac{NI}{2\pi\left(\frac{r-b}{\mu_r}+b}}\right)\]

A vasmagban és a légtésben tárolt energiát úgy határozhatjuk meg, ha kiszámoljuk mindkét térrészben az energiasűrűséget ($\setbox0\hbox{$w = \frac{1}{2}\vec{B}\cdot\vec{H}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$), és azt megszorozzuk térrész térfogatával.Ezzel a légrésben tárolt energia:

\[E_{lég} = \frac{1}{2}\frac{N^2I^2\mu_0}{4\pi^2\left(\frac{r-b}{\mu_r}+b}\right)^2}\cdot V_{lég} =\frac{1}{2}\frac{N^2I^2\mu_0}{2\pi\left(\frac{r-b}{\mu_r}+b}\right)^2}\cdot Ab \]

A vasmagban pedig:

\[E_{vas} = \frac{1}{2}\frac{N^2I^2\mu_0}{4\pi^2\mu_r\left(\frac{r-b}{\mu_r}+b}\right)^2}\cdot V_{vas} =\frac{1}{2}\frac{N^2I^2\mu_0}{2\pi\mu_r\left(\frac{r-b}{\mu_r}+b}\right)^2}\cdot A\left(r-b\right) \]

Ebből a légrésben és a vasmagban tárolt enerigia aránya:

\[\frac{E_{lég}}{E_{vas}} = \frac{b}{\mu_r\left(r-b\right)}\]

Mivel a tekercsre igaz hogy:

$\[E = \frac{1}{2}LI^2\]$

Ezért az energiából a következőképpen számolhatjuk ki az öninduktivitást:

\[L = \frac{2\left(E_{vas}+E_{lég}\right)}{I^2}=\frac{N^2\mu_0}{2\pi\left(\frac{r-b}{\mu_r}+b}\right)}\cdot A\]