Magnetosztatika példák - Tranziens jelenség LR körben

Feladat

1. Egy $\setbox0\hbox{$L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ induktivitású és $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ellenállású tekercset egy $\setbox0\hbox{$U$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ elektromotoros erejű telephez kapcsolunk.Mennyi idő alatt éri el az áram az állandósult értékének az $\setbox0\hbox{$50\%$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-át?

Megoldás

A valós tekercset helyettesíthetjük egy sorba kapcsolt ideális ellenállással és tekercsel. Ekkor ha felírjuk a hurok-törvényt erre az áramkörre, akkor a következő differenciál egyenletet kapjuk:

$\[U = RI + L\dot{I}\]$

a kezdetifeltétel pedig a következő:

$\[I(t = 0) = 0\]$

Ez egy lineáris elsőrendű differenciál egyenlet, amelyet a változók szétválasztásával oldhatunk meg.

$\[\int_0^I\frac{d\tilde{I}}{\frac{U}{L}-\frac{R}{L}\tilde{I}} = \int_0^t d\tilde{t}\]$

Ebből a differenciál egyenlet megoldása:

$\[I\left(t\right) = \frac{U}{R}\left(1-e^{-\frac{R}{L}t}\right)\]$

Ebből látszik, hogy az áram maximális értéke: $\setbox0\hbox{$I_{max} = \frac{U}{R}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, ami érthető, hiszen a stacionárius állapot beállta után a tekercs jelenléte már nem számít. Ha ki akarjuk számolni, hogy mikor éri el az áram a maximális értékének $\setbox0\hbox{$50 \%$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-át, akkor a következő egyenletet kell megoldanunk:

$\[1-e^{-\frac{R}{L}t} = 0.5\]$

Aminek megoldása:

$\[t = -\frac{L}{R}\ln\left(0.5\right)\]$