Magnetosztatika példák - Vezető keret, mozgási indukicó

Feladat

1. Egy végtelen hosszúnak tekinthető egyenes vezetőben $\setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ áram folyik. A vezetőtől $\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ill. $\setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságban vele párhuzamosan elhelyezett két vezető egyik vége egy $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ellenálláson keresztül össze van kötve. A két párhuzamos vezetőn egy rájuk merőlegesen elhelyezett vezetőt csúsztatunk $\setbox0\hbox{$v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebességgel.
   a) Határozza meg a vezető keretben indukált áram irányát és nagyságát. (A vezetők ellenállása elhanyagolható)
   b) Állapítsa meg az az erőt, amely az állandó sebesség fenntartásához szükséges, valamint az $\setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ áramot szállító vezetőtől azt az $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságot, ahol ennek az erőnek támadnia kell!
   c) Határozza meg a vezető mozgatásához szükséges teljesítményt.
   
   

Megoldás

a, Az egyenes vezető tere $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságban:

$\[B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}\]$

A vezetőkeretben indukált feszültség a Faraday-féle indukciós törvény értelmében:

$\[U = -\frac{\partial \Phi}{\partial t} = -\frac{\partial}{\partial t} \int_a^b \frac{\mu_0 I}{2\pi r} vt dr = - \frac{\mu_0 I v}{2\pi}\ln\left(\frac{b}{a}\right) \]$

A vezetőkeretben induló áram:

$\[I_{ind} = \frac{U}{R} = - \frac{\mu_0 I v}{2\pi R}\ln\left(\frac{b}{a}\right) \]$

Az áram olyan irányú lesz, hogy a vezetőkeret által létrehozott mágneses tér az egyenes vezető terével ellentétes irányú legyen. Mivel az ábra szerint az egyenes vezetőben lefelé folyik az áram, ezért a vezető keretben az indukált áram az óra járásával megegyező irányban fog folyni.

b, A keret mozgatásához szükséges erő nagyságának meg kell egyeznie a rúdra ható Lorentz erő nagyságával. Mivel a rúd inhomogén mágneses térben mozog, a rúd elemi $\setbox0\hbox{$dl$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szakaszaira más-más Lorentz erő hat:

$\[d\vec{F} = I_{ind} \int \vec{B} \times \vec{dl} \]$

Mivel a mágneses tér mindenütt merőleges a rúdra, az eredő erő nagyságát megkaphatjuk az elemi szakaszokra ható Lorentz erők skaláris :

$\[F = \int_a^b \frac{\mu_0 I_{ind} I}{2\pi r} dr = \frac{\mu_0 I_{ind} I}{2\pi}\ln\left(\frac{b}{a}\right)\]$

Mivel a nagyon hosszú egyenes vezető tere nem homogén mágneses teret hoz létre, ezért a vezető keretre ható Lorentz erő sem lesz egyenletes. Ezért a Lorentz erőnek lesz eredő forgatónyomatéka. A rúdat olyan a támadási pontban kell húzni, hogy annak forgatónyomatéka éppen kiejtse a Lorentz erő forgatónyomatékát. Ha a csomópontot az egyenes vezetőhöz vesszük fel akkor a Lorentz erő forgatónyomatéka:

$\[M_L = \int_a^b \frac{\mu_0 I_{ind} I}{2\pi r} r dr = \frac{\mu_0 I_{ind} I}{2\pi}(b-a)\]$

A húzó erő forgatónyomatéka az $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pontban:

$\[M_h = \frac{\mu_0 I_{ind} I}{2\pi}\ln\left(\frac{b}{a}\right) x\]$

Ebből:

$\[M_h = M_L \rightarrow x = \frac{(b-a)}{\ln\left(\frac{b}{a}\right)}\]$

c, A vezető mozgatásához szükséges teljesítmény:

$\[P = F\cdot v = \frac{\mu_0 I_{ind} I}{2\pi}\ln\left(\frac{b}{a}\right) v = \frac{\mu_0^2 I^2}{4\pi^2 R}\ln\left(\frac{b}{a}\right)^2 v^2 = U\cdot I\]$

Vagyis a vezető mozgatásához szükséges teljesítmény megegyezik az áramkörben disszipált elektromos teljesítménnyel.