Magnetosztatika példák - Szolenoid mágneses tere (Ampere-féle gerjesztés)

Feladat

1. Határozzuk meg a mágneses indukció nagyságát egy $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú, $\setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ menetű szolenoidban, amelyben $\setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ áram folyik gerjesztési törvény segítségével.

Megoldás

a.) Vegyünk fel egy $\setbox0\hbox{$'a'$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ $\setbox0\hbox{$'b'$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ $\setbox0\hbox{$'c'$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ $\setbox0\hbox{$'d'$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ oldalakkal határolt téglalap alakú zárt hurkot, melynek $\setbox0\hbox{$'a'$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ oldala $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú, és egybe esik a szolenoid tengelyével. Az erre merőleges $\setbox0\hbox{$'b'$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$'d'$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ oldalai igen hosszúak, így a téglalap szintén $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú $\setbox0\hbox{$'c'$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ oldala olyan távol van a szolenoidtól, hogy annak tere ott már elhanyagolható. Írjuk fel erre a zárt görbére az Amper-féle gerjesztési törvényt:

$\[\sum I=\oint \vec{H}\vec{dl}\]$

A zárt görbe által határolt területen átfolyik a szolenoid $\setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ darab menetének $\setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ árama, így a gerjesztési törvény:

$\[NI=\int_a \vec{H}\vec{dl}+\int_b \vec{H}\vec{dl}+\int_c \vec{H}\vec{dl}+\int_d \vec{H}\vec{dl}\]$

A tekercs belsejére számított vonalintegrálja mellett a másik három integrál elhanyagolható.

Így kapott egyenlet:

$\[NI=Hl\]$

Ebből kiszámolható az $\setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ árammal átjárt $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú szolenoid belsejében mérhető mágneses indukció:

$\[B=\dfrac{\mu_0 NI}{l}\]$