Magnetosztatika példák - Küllős fémtárcsában indukált elektromotoros erő

Feladat

1. Küllős fémtárcsát forgassunk homogén mágneses erőtérben az erővonalakkal párhuzamos tengely körül. Mekkora feszültség mérhető a tárcsa tengelye és pereme között? A tárcsa sugara $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a mágneses indukció $\setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a fordulatszám $\setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.
   

Megoldás

A kerékkel együtt forgó elektronokra a mágneses tér miatt Lorentz erő hat.

$\[\vec{F_L} = q\left(\vec{B}\times \vec{v}\right)\]$

A Lorentz erő hatására töltés átrendeződés megy végbe, aminek eredményeképpen a kerékben kialakul egy elektromos tér. A stacionárius egyensúly beállta után a töltésmegosztás következtében kialakult elektromos tér és a Lorentz erő egymást kioltják:

$\[q\vec{E} = q\left(\vec{B}\times \vec{v}\right) \]$

Az elektronok sebessége a középpontól mért $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságban:$\setbox0\hbox{$v = 2\pi n r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ Mivel a mágneses tér mindenütt merőleges az elektronok sebességére ezért:

$\[E = 2\pi n r B\]$

Abből a kerék két széle között kialakuló indukált potenciál különbség:

$\[U = \int_0^R E dr = \frac{2\pi n B R^2}{2} \]$